（江苏专用）2020版高考数学二轮复习 微专题十六 等差、等比数列课件 苏教版

核心模块六数列微专题十六等差、等比数列课时作业考情分析在近三年的高考题中，等差、等比数列一直是高考重点和难点，填空题中有等差、等比数列基本量的考察，解答题第一问也有等差、等比基本问题考察，这类考察均以基础题和中档题出现，是数列为数不多的得分点．年份填空题解答题2017T9等比数列的基本量T19考察等差数列的综合问题2018T14等差、等比数列的综合问题T19考察等差、等比数列的综合问题2019T8等差数列T20等差、等比的综合问题课时作业典型例题目标1等差、等比数列基本量计算例1(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋6a4，则a3的值为________．(2)Sn是等差数列{an}的前n项和，若SnS2n＝n＋14n＋2，则a3a5＝________.(3)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S3，S9，S6成等差数列，且a8＝3，则a5的值为________．(1)3解析：由a8＝a6＋6a4得a2q6＝a2q4＋6a2q2，则有q4－q2－6＝0，所以q2＝3(舍负)．又q0，所以q＝3，则a3＝a2q＝3.(2)35解析：因为SnS2n＝n＋14n＋2，所以令n＝1可得，S1S2＝26＝13，即a12a1＋d＝13，化简可得d＝a1，所以a3a5＝a1＋2da1＋4d＝3a15a1＝35.(3)－6解析：解法1:设等比数列{an}的公比为q，由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9＝S3＋S6，q＝1明显不适合，所以有2×a11－q91－q＝a11－q31－q＋a11－q61－q，整理得2q6－q3－1＝0，解得q3＝－12或q3＝1(舍去)．又a8＝3，故a5＝a8q－3＝3×(－2)＝－6.解法2:设等比数列{an}的公比为q，由S3，S9，S6成等差数列，可得2S9＝S3＋S6，即2(S9－S6)＝S3－S6，即2(a7＋a8＋a9)＝－(a4＋a5＋a6)，即2a1q6(1＋q＋q2)＝－a1q3(1＋q＋q2)．因为a1≠0，q≠0，且1＋q＋q20，所以q3＝－12.又a8＝3，故a5＝a8q－3＝3×(－2)＝－6.【思维变式题组训练】1.等差数列{an}中，若Sn为{an}的前n项和，2a7＝a8＋5，则S11的值是________．55解析：设等差数列{an}的公差为d，由题意可得2(a1＋6d)＝a1＋7d＋5，得a1＋5d＝5，则S11＝11a1＋11×102d＝11(a1＋5d)＝11×5＝55.2.一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是________．12解析：设该等比数列为{an}，其前n项积为Tn，则由已知得a1·a2·a3＝3，an－2·an－1·an＝9，(a1·an)3＝3×9＝33，所以a1·an＝3.又Tn＝a1·a2·…·an－1·an＝an·an－1·…·a2·a1，所以T2n＝(a1·an)n，即7292＝3n，所以n＝12.3.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，则a8的值为________．2解析：因为等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，所以2×a11－q91－q＝a11－q31－q＋a11－q61－q，a1q＋a1q4＝4，解得a1q＝8，q3＝－12，所以a8＝a1q7＝(a1q)(q3)2＝8×14＝2.4.设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________．－12解析：设等差数列{an}的公差为d.因为a3＋a7＝36，所以a4＋a6＝36.又a4a6＝275，联立，解得a4＝11，a6＝25或a4＝25，a6＝11.当a4＝11，a6＝25时，可得a1＝－10，d＝7，此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an＜0，当n≥3时，an＞0，所以a2a3＝－12为anan＋1的最小值；当a4＝25，a6＝11时，可得a1＝46，d＝－7，此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an＞0，当n≥8时，an＜0，所以a7a8＝－12为anan＋1的最小值．综上，anan＋1的最小值为－12.目标2等差、等比数列性质运用例2(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S15＝30，a7＝1，则S9的值为_____．(2)已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋a2＝49，a3＋a4＋a5＋a6＝40，则a7＋a8＋a99的值为________．(3)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S4S2＝3，则S6S4＝________.(4)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2014，S20142014－S20082008＝6，则S2019＝________.(1)－9解析：解法1：(数列的基本量法)由题意得，S15＝15a1＋15×142d＝30，a7＝a1＋6d＝1，解得a1＝－5，d＝1，所以S9＝9a1＋9×82d＝－45＋36＝－9.解法2：(性质法)因为S15＝30，所以15a1＋a152＝30，a1＋a15＝4，即2a8＝4，a8＝2.又因为a7＝1，所以公差d＝1，a5＝a7－2d＝－1，S9＝9a1＋a92＝9a5＝－9.(2)117解析：解法1:a1＋a2＝a11＋q＝49，a3＋a4＋a5＋a6＝a1q2＋q3＋q4＋q5＝40，两式相除可得q2＋q4＝90，即q2＝－10(舍)或q2＝9.又an0，所以q＝3，故a1＝19，所以a7＋a8＋a9＝a1q6(1＋q＋q2)＝1053，即a7＋a8＋a99＝117.解法2:因为a3＋a4a1＋a2＝q2，a5＋a6a1＋a2＝q4，所以a3＋a4＋a5＋a6＝(q2＋q4)(a1＋a2)＝40.即q4＋q2＝90，解得q2＝9.又an0，所以q＝3.又a7＋a8＋a9a1＋a2＋a3＝q6，a7＋a8＋a9a4＋a5＋a6＝q3，故a1＋a2＋…＋a6＝1q6＋1q3(a7＋a8＋a9)＝40＋49，解得a7＋a8＋a9＝1053，即a7＋a8＋a99＝117.(3)73解析：设S2＝k，S4＝3k，因为数列{an}为等比数列，所以S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列，又S2＝k，S4－S2＝2k，所以S6－S4＝4k，所以S6＝7k，所以S6S4＝7k3k＝73.(4)8076解析：由等差数列的性质可得Snn也为等差数列．设其公差为d，则S20142014－S20082008＝6d＝6，所以d＝1.故S20192019＝S11＋2018d＝－2014＋2018＝4，所以S2019＝4×2019＝8076.【思维变式题组训练】1.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差d＝________.5解析：设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得S奇＋S偶＝354，S偶∶S奇＝32∶27，解得S偶＝192，S奇＝162.又S偶－S奇＝6d，所以d＝192－1626＝5.2.等差数列{an}中，已知Sn是其前n项和，a1＝－9，S99－S77＝2，则S10＝________.0解析：设公差为d.因为S99－S77＝2，所以9－12d－7－12d＝2，所以d＝2.因为a1＝－9，所以S10＝10×(－9)＋10×92×2＝0.3.若公比不为1的等比数列{an}满足log2(a1a2…a13)＝13，等差数列bn满足b7＝a7，则b1＋b2＋…＋b13的值为________．26解析：由log2(a1a2…a13)＝13得，a1a2…a13＝213＝a137，a7＝2＝b7，b1＋b2＋…＋b13＝13b7＝26.150解析：易知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20＞0，所以S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，所以S40＝150.4.设各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________.目标3等差、等比数列的判定与证明例3已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝2，Sn＝λnan＋μan－1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R.(1)若λ＝0，μ＝4，bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：数列{bn}是等比数列；(2)若数列{an}是等比数列，求λ，μ的值；(3)若a2＝3，且λ＋μ＝32，求证：数列{an}是等差数列．解析：(1)若λ＝0，μ＝4，则Sn＝4an－1(n≥2)，所以an＋1＝Sn＋1－Sn＝4(an－an－1)，即an＋1－2an＝2(an－2an－1)，所以bn＝2bn－1.又由a1＝2，a1＋a2＝4a1，得a2＝3a1＝6，a2－2a1＝2≠0，即bn≠0，所以bnbn－1＝2，故数列{bn}是等比数列．(2)若{an}是等比数列，设其公比为q(q≠0)．当n＝2时，S2＝2λa2＋μa1，即a1＋a2＝2λa2＋μa1，得1＋q＝2λq＋μ①.当n＝3时，S3＝3λa3＋μa2，即a1＋a2＋a3＝3λa3＋μa2，得1＋q＋q2＝3λq2＋μq②.当n＝4时，S4＝4λa4＋μa3，即a1＋a2＋a3＋a4＝4λa4＋μa3，得1＋q＋q2＋q3＝4λq3＋μq2③.②－①×q，得1＝λq2，③－②×q，得1＝λq3，解得q＝1，λ＝1.代入①式，得μ＝0.此时Sn＝nan(n≥2)，Sn－1＝(n－1)an－1(n≥3)，相减得Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1，所以an＝an－1(n≥3)．因为a1＝2，S2＝2a2，所以an＝a2＝a1＝2，数列{an}是公比为1的等比数列，故λ＝1，μ＝0.(3)令n＝2，则S2＝2λa2＋μa1，即a1＋a2＝2λa2＋μa1.又a1＝2，a2＝3，得5＝6λ＋2μ.又λ＋μ＝32，解得λ＝12，μ＝1.所以Sn＝n2an＋an－1，令n＝3，则S3＝32a3＋a2，即a1＋a2＋a3＝32a3＋a2.由a1＝2，a2＝3，得5＋a3＝32a3＋3，所以a3＝4，所以a1，a2，a3成等差数列．由Sn＝n2an＋an－1，得Sn＋1＝n＋12an＋1＋an，两式相减得an＋1＝n＋12an＋1－n2an＋an－an－1，即(n－1)an＋1－(n－2)an－2an－1＝0，所以nan＋2－(n－1)an＋1－2an＝0.两式相减得nan＋2－2(n－1)an＋1＋(n－2)an－2an＋2an－1＝0，所以n(an＋2－2an＋1＋an)＋2(an＋1－2an＋an－1)＝0，所以an＋2－2an＋1＋an＝－2n(an＋1－2an＋an－1)＝22nn－1(an－2an－1＋an－2)＝…＝－2n－1nn－1·…·2·(a3－2a2＋a1)．因为a1－2a2＋a3＝0，所以an＋2－2an＋1＋an＝0，即数列{an}是等差数列．【方法归类】数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；②利用等差中项性质，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．(2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法：①利用定义，证明an＋1an(n∈N*)为一常数；②利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋1(n≥2)．【思维变式题组训练】1.已知公差大于零的等