（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3 组合 第二课时 组合的应用课件

第二课时组合的应用考点一有限制条件的组合问题[典例]课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选．[解](1)1名女生，4名男生，故共有C15·C48＝350种．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165种．(3)至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名队长，故共有选法C12·C411＋C22·C311＝825种，或采用间接法共有C513－C511＝825种．[类题通法]解答组合应用题的总体思路：(1)整体分类：从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集等于空集，即“不重”，计算结果时使用分类计数原理．(2)局部分步：整体分类以后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立．[针对训练]1．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()A．30种B．35种C．42种D．48种解析：选A法一：选修1门A类，2门B类课程的选法有C13C24种；选修2门A类，1门B类的课程的选法有C23C14种．故选法共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)．法二：从7门选修课中选修3门的选法有C37种，其中3门课都为A类的选法有C33种，都为B类的选法有C34种，故选法共有C37－C33－C34＝30(种)．2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个空盒，有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？解：(1)先从4个小球中取2个放在一起，有C24种不同的取法，再把取出的2个小球与另外2个小球看成三堆，并分别放入4个盒子中的3个盒子里，有A34种放法，根据分步乘法计数原理，共有C24A34＝144种不同的放法．(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中．有两类放法：第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个盒子中有A24种放法，共有C34A24种放法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法．故恰有2个盒子不放球的方法有C34A24＋C24C24＝84种．考点二几何问题中的组合问题[典例]平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线．(1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？[解]法一：(直接法)(1)可确定直线C44＋C14C15＋C25＝31条．(2)可确定三角形C24C15＋C14C25＋C35＝80个．(3)可确定四边形C24C25＋C14C35＋C45＝105个．法二：(间接法)(1)可确定直线C29－C24＋1＝31条．(2)可确定三角形C39－C34＝80个．(3)可确定四边形C49－C44－C34C15＝105个．[类题通法]解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．[针对训练]1.过正八面体(由2个棱长相同的四棱锥拼接而成，如图)的任意2个顶点的所有直线中，随机取2条，则这2条直线异面的情况有()A．24种B．36种C．48种D．60种解析：选B因为从正八面体的6个顶点中任取4个，4点共面的情况有3种，所以可构成－3＝12个四面体．又因为每个四面体可构成3对异面直线，所以共有12×3＝36对异面直线．2．(1)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体？(2)以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥？解：(1)正方体8个顶点可构成C48个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面的四个顶点．故可以确定四面体C48－12＝58个．(2)由(1)知，正方体共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以其余的四个点中任意一点为顶点都可以确定一个四棱锥，故可以确定四棱锥12C14＝48个．[课堂归纳领悟]解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．