（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列 第二课时 排列的应用课件

第二课时排列的应用考点一无限制条件的排列问题[典例](1)有5个不同的科研小课题，从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小组进行研究，每组一个课题，共有多少种不同的安排方法？(2)有5个不同的科研小课题，高二(6)班的3个学习兴趣小组报名参加，每组限报一个课题，共有多少种不同的报名方法？[解](1)从5个不同的课题中选出3个，由兴趣小组进行研究，对应于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列．因此不同的安排方法有A35＝5×4×3＝60种．(2)由题意知，3个兴趣小组可能报同一科研课题，因此元素可以重复，不是排列问题．由于每个兴趣小组都有5种不同的选择，且3个小组都选择完才算完成这件事．由分步计数原理得，共有5×5×5＝125种报名方法.[类题通法]没有限制条件的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类题相对简单，分清元素和位置即可．[针对训练]6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36B．120C．720D．240解析：选C由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A66＝720.考点二排队问题[典例]7位同学站成一排．(1)其中甲站在最左端的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(3)其中甲不能站在排头、乙不能站在排尾的排法共有多少种？[解](1)先考虑甲站在最左端有1种方法，再在余下的6个位置排另外6位同学，共A66种排法．(2)法一：先考虑在除两端外的5个位置选2个安排甲、乙有A25种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，共有A25·A55种排法．法二：考虑特殊位置优先法，即两端的排法有A25种，中间5个位置有A55种，共有A25·A55种排法．(3)法一：分两类：乙站在排头和乙不站在排头，乙站在排头的排法共有A66种，乙不站在排头的排法总数为：先在除甲、乙外的5人中选1人安排在排头的方法有5种，中间5个位置选1个安排乙的方法有5种，再在余下的5个位置排另外5位同学的排法有A55种，故共有A66＋5×5A55种排法．法二：考虑间接法，总排法为A77，不符合条件的甲在排头或乙站排尾的排法均为A66种，但这两种情况均包含了甲在排头和乙站排尾的情况，故共有A77－2A66＋A55种排法．[类题通法]排队问题的解题策略排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题．(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决．即将相邻的元素视为一个整体进行排列．(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决．即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中．(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决．即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数．[针对训练]1．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有()A．36种B．42种C．48种D．54种解析：选B分两类：第一类：甲排在第一位，共有A44＝24种排法；第二类：甲排在第二位，共有A13·A33＝18种排法，所以共有编排方案24＋18＝42种，故选B.2．6个人按下列要求站一排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端．解：(1)第一步，先从甲以外的5个人中任选两人站在左、右两端，有A25种不同的站法；第二步，再让剩下的4个人站在中间的4个位置，有A44种不同的站法，由分步计数原理有A25·A44＝480种不同的站法．(2)让甲、乙先站两端，有A22种站法，再考虑中间4个位置，由剩下的4个人去站，有A44种不同的站法，由分步计数原理有A22·A44＝48种不同的站法．(3)以元素甲的位置进行考虑，可分两类：甲站右端有A55种不同的站法；甲在中间4个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余4个，有4×4×A44种不同的站法，故共有A55＋4×4×A44＝504种不同的站法．考点三组数问题[典例]用0,1,2,3,4这五个数字，组成五位数，(1)可组成多少个五位数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？[解](1)各个数位上的数字允许重复，由分步计数原理得，共可组成五位数4×5×5×5×5＝2500个．(2)法一：(优先考虑特殊位置)先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A14种方法，其余四个位置排四个数字共有A44种方法，所以组成的无重复数字的五位数共有A14A44＝96个．法二：(优先考虑特殊元素)先排0，除首位之外的其他四个数位均可，有A14种方法，其余四个数字全排，有A44种方法．故组成的无重复数字的五位数共有A14A44＝96个．(3)(优先考虑特殊位置)先排个位，1和3均可，有A12种方法．然后从剩下的3个非0数中选一个排在万位，有A13种方法，最后将剩下的3个数排在其他三个数位上，有A33种方法．故组成的无重复数字的五位奇数共有A12A13A33＝36个．[类题通法]组数问题中常用的知识：(1)能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数．(2)能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数．(3)能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数．(4)能被5整除的数的特征：末位数是0或5；能被25整除的数的特征：末两位数是25的正整数倍．(5)能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数．[针对训练]用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，(1)可组成多少个不同的四位数？(2)可组成多少个四位偶数？解：(1)先排首位，有A15种排法，再排个位、十位和百位，有A35种排法，故共有A15A35＝300个不同的四位数．(2)当个位数字是0时，有A35种；当个位数字不是0时，有A12A24A14种．所以共有A35＋A12A24A14＝156个，即可组成156个偶数．[课堂归纳领悟]1．解决排列问题时通常从以下三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置，如组数问题中的首位，如果所给数字中有0，应先考虑首位不为0；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数，然后去掉不符合要求的排列．2．解决组数问题应注意的几点(1)首位数字不为0；(2)若所选数字中含有0，则可先排0，即“元素分析法”；(3)若排列的数是特殊数字，如偶数，则先排个位数字，即“位置分析法”；(4)此类问题往往需要分类，可依据特殊元素，特殊位置分类．