（江苏专用）2019-2020学年高中数学 第二章 概率 习题课（四）概率课件 苏教版选修2-3

习题课(四)(提升关键能力)概率高频考点一条件概率条件概率的性质(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.(2)可加性：如果是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．[典例]口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，则：(1)第一次取出的是红球的概率是多少？(2)第一次和第二次都取出的是红球的概率是多少？(3)在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率是多少？[解]记事件A：第一次取出的是红球；事件B：第二次取出的是红球．(1)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次取出的是红球，第二次是其余5个球中的任一个，符合条件的有4×5个，所以P(A)＝4×56×5＝23.(2)从中随机地不放回连续抽取两次，每次抽取1个，所有基本事件共6×5个；第一次和第二次都取出的是红球，相当于取两个球，都是红球，符合条件的有4×3个，所以P(AB)＝4×36×5＝25.(3)利用条件概率的计算公式，可得P(B|A)＝PABPA＝2523＝35.[类题通法]条件概率的两个求解策略(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝PABPB或P(B|A)＝PABPA求解．(2)缩小样本空间法：利用P(B|A)＝nABnA求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．[集训冲关]已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，从100个男人和100个女人中任选一人．(1)求此人患色盲的概率．(2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．(以上各问结果写成最简分式形式)．解：设“任选一人是男人”为事件A，“任选一人是女人”为事件B，“任选一人是色盲”为事件C.(1)此人患色盲的概率P＝P(AC)＋P(BC)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝100200×5100＋100200×0.25100＝21800.(2)由(1)得P(AC)＝5200，又因为P(C)＝21800，所以P(A|C)＝PACPC＝520021800＝2021.高频考点二相互独立事件的概率与二项分布1．若事件A与B相互独立，则事件A与B，A与B，A与B分别相互独立，且有P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)，P(AB)＝P(A)P(B)．2．若事件A1，A2，…，An相互独立，则有P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．3．在n次独立重复试验中，事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.4．二项分布满足的条件与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几个方面判定：(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．(2)各次试验中的事件是相互独立的．(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．[典例](2019·全国卷Ⅱ)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．[解](1)X＝2就是某局双方10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲获胜，就是某局双方10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分．因此所求概率为[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.[类题通法]求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．(3)公式“P(A＋B)＝1－P(AB)”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．[集训冲关]1．(2018·全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX＝2.4，P(X＝4)P(X＝6)，则p＝()A．0.7B．0.6C．0.4D．0.3解析：选B由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以DX＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.又因为P(X＝4)P(X＝6)，所以C410p4(1－p)6C610p6(1－p)4，所以p0.5，所以p＝0.6.2．如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立．已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p；(2)求电流能在M与N之间通过的概率．解：记Ai表示事件“电流能通过Ti”，i＝1,2,3,4，A表示事件“T1，T2，T3中至少有一个能通过电流”，B表示事件“电流能在M与N之间通过”．(1)A＝A1A2A3，A1，A2，A3相互独立，P(A)＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＝(1－p)3，又P(A)＝1－P(A)＝1－0.999＝0.001，故(1－p)3＝0.001，解得p＝0.9.(2)B＝A4∪(A4A1A3)∪(A4A1A2A3)，P(B)＝P(A4)＋P(A4A1A3)＋P(A4A1A2A3)＝P(A4)＋P(A4)P(A1)P(A3)＋P(A4)P(A1)P(A2)P(A3)＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9＝0.9891.高频考点三离散型随机变量的期望与方差(1)求离散型随机变量的期望与方差，一般先列出分布列，再按期望与方差的计算公式计算．(2)要熟记特殊分布的期望与方差公式(如两点分布、二项分布、超几何分布)．(3)注意期望与方差的性质．(4)实际应用问题，要注意分析实际问题用哪种数学模型来表达．[典例]中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)，进入总决赛的甲乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，假设每场比赛的结果互相独立，现已赛完两场，乙队以2∶0暂时领先．(1)求甲队获得这次比赛胜利的概率；(2)设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望．[解](1)设甲队获胜为事件A，则甲队获胜包括甲队以4∶2获胜和甲队以4∶3获胜两种情况．设甲队以4∶2获胜为事件A1，则P(A1)＝234＝1681，设甲队以4∶3获胜为事件A2，则P(A2)＝C14×13×233×23＝64243，P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝1681＋64243＝112243.(2)随机变量X可能的取值为4,5,6,7，P(X＝4)＝132＝19；P(X＝5)＝C12×13×23×13＝427；P(X＝6)＝C13×13×232×13＋234＝2881；P(X＝7)＝C14×13×233＝3281.所以X的分布列为X4567P1942728813281E(X)＝4×19＋5×427＋6×2881＋7×3281＝48881.[类题通法]求离散型随机变量X的期望与方差的步骤(1)理解X的意义，写出X可能的全部取值；(2)求X取每个值的概率或求出函数P(X＝k)；(3)写出X的分布列；(4)由分布列和期望的定义求出E(X)；(5)由方差的定义，求D(X),若X～B(n，p),则可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．[集训冲关]1．已知随机变量X的分布列如下：X123P0.40.1x则X的方差为________．解析：由分布列的性质知，x＝0.5，故E(X)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，D(X)＝(1－2.1)2×0.4＋(2－2.1)2×0.1＋(3－2.1)2×0.5＝0.484＋0.001＋0.405＝0.89.答案：0.892．甲、乙2人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a，再由乙猜甲写的数字，记为b，已知a，b∈{0,1,2,3,4,5}，若|a－b|≤1，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖．(1)求甲、乙2人玩此游戏获奖的概率；(2)现从6人组成的代表队中选4人参加此游戏，这6人中有且仅有2对双胞胎，记选出的4人中含有双胞胎的对数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)记事件A为“甲、乙2人一次竞猜成功”，则P(A)＝2C12＋4C13C16·C16＝49，设3次竞猜中，竞猜成功的次数为X，则X～B3，49，则甲、乙2人获奖的概率为P＝1－C03490593－C13491592＝304729.(2)由题意可知，6人中选取4人，双胞胎的对数X的取值为0,1,2，则P(X＝0)＝C12·C12·C22C46＝415，P(X＝1)＝C12C22C12C12＋C22C46＝23，P(X＝2)＝C22C22C46＝115.所以X的分布列为X012P41523115E(X)＝0×415＋1×23＋2×115＝45.高频考点四正态分布正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(μ－σX≤μ＋σ)＝68.3%.(2)P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝95.4%.(3)P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝99.7%.[典例]已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X＞2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝()A．0.447B．0.628C．0.954D．0.977[解析]∵随机变量X服从标准正态分布N(0，σ2)，∴正态曲线关于x＝0对称．又P(X＞2)＝0.023，∴P(X＜－2)＝0.023.∴P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.[答案]C[类题通法]根据正态曲线的对称性求解概率的三个关键点(1)正态曲线与x轴围成的图形面积为1；(2)正态曲线关于直线x＝μ对称，则正态曲线在对称轴x＝μ的左右两侧与x轴围成的面积都为0.5；(3)可以利用等式P(X≥μ＋c)＝P(X≤μ－c)(c＞0)对目标概率进行转化求解．[集训冲关]1．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，P(X1)＝p，则P(－1X0)等于()A.12pB．1－pC．1－2pD.12－p解析：选D由于随机变量服从正态分布N(0,1)，由标准正态分布图象可得P(－1X1)＝1－2P(X1)＝1－2p.故P(－1X0)＝12P(－1X1)＝12－p.2．在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ0)，若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为________．解析：由正态分布N(1，σ2)(σ0)的图象关于直线x＝1对称，且X在(0,1)内取值的概率为0.4，知X在(1,2)内取值的概率也为0.4，故X在(0,2)内取值的概率为0.8.答案：0.8