云南省玉溪一中2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理（PDF）

试卷第1页，总4页玉溪一中2018—2019学年下学期高二年级期中考试理科数学试卷命题人：金志文审题人：飞超常文浩一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数𝑧满足(√3−𝑖)⋅𝑧=4𝑖，则|𝑧|=（）A．1B．2C．√2D．√32．命题“∀𝑥∈𝑅   ,   sin𝑥+1≥0”的否定是（）A．∃𝑥0∈𝑅   ,   sin𝑥0+10B．∀𝑥∈𝑅   ,   sin𝑥+10C．∃𝑥0∈𝑅   ,   sin𝑥0+1≥0D．∀𝑥∈𝑅   ,   sin𝑥+1≤03．设向量𝑎⃑=(𝑥−1,𝑥)，𝑏⃑⃑=(−1,2)，若𝑎⃑//𝑏⃑⃑，则𝑥=（）A．−32B．-1C．23D．324．某空间几何体的三视图如图所示，该几何体是（）主视图侧视图俯视图A.三棱柱B．三棱锥C．四棱柱D．四棱锥5．正整数N除以正整数m后的余数为n，记为N≡n(MODm)，例如25≡1(MOD6).如图所示程序框图的算法源于“中国剩余定理”，若执行该程序框图，当输入N=25时，则输出N=（）A．28B．31C．33D．356．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了（）A．6里B．12里C．24里D．96里7．已知函数𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥，若直线𝑙过点(0,−𝑒)，且与曲线𝑦=𝑓(𝑥)相切，则直线𝑙的斜率为（）试卷第2页，总4页A．−2B．2C．−𝑒D．𝑒8．已知圆的极坐标方程为𝜌=4cos𝜃，圆心为𝐶，点𝑃的极坐标为(4,π3)，则|𝐶𝑃|=（）A．4√3B．4C．2√3D．29．已知𝑎𝑏0，则2𝑎+4𝑎+𝑏+1𝑎−𝑏的最小值为（）A.4×√44B．6C．3×√8𝑎𝑎2−𝑏23D．3√210．某产品的广告费用𝑥与销售额𝑦的统计数据如下表：广告费用𝑥（万元）2345销售额𝑦（万元）25374454根据上表可得回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂中的𝑏̂为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）A．61.5万元B．62.5万元C．63.5万元D．65.0万元11．已知三棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷中，𝐵𝐶⊥𝐶𝐷，𝐵𝐶=1，𝐶𝐷=√3，𝐴𝐵=𝐴𝐷=√2，则该三棱锥的外接球的体积为（）A．4𝜋3B．8𝜋3C．8√2𝜋3D．4𝜋12．设𝐹1，𝐹2是双曲线C：的左、右焦点，O是坐标原点，点P在双曲线C的右支上且|𝐹1𝐹2|=2|𝑂𝑃|，△𝑃𝐹1𝐹2的面积为，则双曲线C的离心率为（）A．√5B．4C．√2D．2二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。13．若非零实数𝑎、b满足条件𝑎b，则下列不等式一定成立的是__________．①;②;③;④𝑎3b3;⑤14．设实数𝑥，𝑦满足约束条件{2𝑥−1≥0𝑥−𝑦≤0𝑥+𝑦−2≤0，则𝑧=2𝑥−𝑦的最大值为__________．15．已知数列*𝑎𝑛+满足𝑎1=2，𝑎𝑛=2𝑎𝑛−1+2𝑛(𝑛≥2,𝑛𝜖𝑁∗)，则数列*𝑎𝑛+的通项公式𝑎𝑛=_______．0,012222babyax2aba1122ba2babba3131试卷第3页，总4页16．对于任意的实数𝑥∈,1,𝑒-，总存在三个不同的实数𝑚∈,−1,4-，使得𝑚2𝑥𝑒1−𝑚−𝑎𝑥−ln𝑥=0成立,则实数𝑎的取值范围为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，，,且𝑎𝑐,若𝑎tan𝐵=2𝑏sin(𝐵+𝐶).（1）求角B的大小；（2）若𝑏=√7,且△ABC的面积为3√34,求sinA的值.18．(本小题满分12分)从甲、乙两班各随机抽取10名同学，下面的茎叶图记录了这20名同学在2018年高考语文作文的成绩（单位：分）.已知语文作文题目满分为60分，“分数≥36分，为及格；分数≥48分，为高分”，且抽取的甲、乙两班的10名同学作文平均分都是44分.甲班乙班626234𝑦2𝑥268412660252078（1）求𝑥,𝑦的值；（2）若分别从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生，请列举出所有的基本事件；并求抽到的学生中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.19．(本小题满分12分)如图，在多面体𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸中，𝛥𝐴𝐸𝐵为等边三角形，𝐴𝐷//𝐵𝐶,𝐵𝐶⊥𝐴𝐵,𝐴𝐵=𝐵𝐶=2𝐴𝐷=2,𝐶𝐸=2√2,点𝐹为边𝐸𝐵的中点.（1）求证:𝐴𝐹//平面𝐷𝐸𝐶；（2）求直线𝐴𝐵与平面𝐷𝐸𝐶所成角的正弦值.abc试卷第4页，总4页20．(本小题满分12分)已知椭圆𝐶的方程为：𝑥22+𝑦2＝1,且平行四边形𝑂𝑀𝐴𝑁的三个顶点𝑀，𝐴，𝑁都在椭圆𝐶上，𝑂为坐标原点．（1）当弦𝑀𝑁的中点为.12,√24/时，求直线𝑀𝑁的方程；（2）证明：平行四边形𝑂𝑀𝐴𝑁的面积为定值．21．(本小题满分12分)已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−12𝑥2，𝑔(𝑥)=1−𝑚2𝑥2+𝑥,𝑚𝜖𝑅，令𝐹(𝑥)=𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥).（1）求函数𝑓(𝑥)的单调递增区间；（2）若关于𝑥的不等式𝐹(𝑥)≤𝑚𝑥−1恒成立，求整数𝑚的最小值；（3）若𝑚=−1，且正实数𝑥1,𝑥2满足𝐹(𝑥1)=−𝐹(𝑥2)，求证：𝑥1+𝑥2≥√3−1．（二）选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑙的参数方程为{𝑥=1−√32𝑡𝑦=−√3+12𝑡（𝑡为参数），以坐标原点为极点，𝑥轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线𝐶的极坐标方程为𝜌=2√2√2−cos2𝜃．（1）求直线𝑙的普通方程及曲线𝐶的直角坐标方程；（2）设点𝑃(1,−√3)，直线𝑙与曲线𝐶相交于两点𝐴，𝐵，求|𝑃𝐴|·|𝑃𝐵|的值．23．(本小题满分10分)已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+𝑎|+|𝑥−1|.（1）当𝑎=1时，求不等式𝑓(𝑥)≥𝑥+4的解集；（2）若不等式𝑓(𝑥)≥𝑎2−1恒成立，求实数𝑎的取值范围.答案第1页，总4页参考答案一、选择题123456789101112BACDBABCBCAC二、填空题13.④⑤14．115.n2𝑛16．,16𝑒3,3𝑒)三、解答题17．【解析】（1）在ABC中，sin(B+C)=sinA,由正弦定理和已知条件得：sinAtanB=2sinBsinA,由于sinA0,sinB0,则有：cosB=12,又0B,所以B=𝜋3（2）由题可知：SABC=12acsinB=12acsin𝜋3=3√34,ac=3,在ABC中由余弦定理得：b2=a2+c2-2accos𝜋3,即有：7=a2+c2-ac,整理得：(a+c)2-3ac=7,代入得：(a+c)2=16，a+c=4,解方程组{𝑎𝑐=3𝑎+𝑐=4,又ac，得：a=3,c=1,由正弦定理得：√7sin𝜋3=3sin𝐴,sinA=3√2114.18．【解析】解：（1）因为甲的平均数为44，所以𝑥甲=110(26+32+42+40+𝑥+42+46+48+50+52+56)=44，解得𝑥=6.同理，因为乙的平均数为44.所以𝑥乙=110(26+34+30+𝑦+41+42+46+50+52+57+58)=44，解得𝑦=4.（2）甲班成绩不低于高分的学生成绩分别为48，50，52，56共4人，乙班成绩不低于高分的学生成绩分别为50，52，57，58共4人，记*𝑎,𝑏+表示从甲、乙两班随机各抽取1名学生的成绩,则所有的基本事件为：{48,50}{48,52}{48,57}{48,58}{50,50}{50,52}{50,57}{50，58}{52，50}{52，52}{52，57}{52，58}{56，50}{56，52}{56，57}{56，58}从甲、乙两班随机各抽取1名成绩为高分的学生，共有4×4=16种情况；其中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的有*52,50+，*56,50+，*56,52+共3种；故由古典概型得，抽到的学生中，甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率𝑃=316.19．【解析】答案第2页，总4页(I)取𝐸𝐶中点𝑀,连结𝐹𝑀,𝐷𝑀∵𝐴𝐷//𝐵𝐶//𝐹𝑀,𝐴𝐷=12𝐵𝐶=𝑀𝐹，𝐴𝐷𝑀𝐹是平行四边形，∴𝐴𝐹//𝐷𝑀∵𝐴𝐹⊄平面𝐷𝐸𝐶，𝐷𝑀⊂平面𝐷𝐸𝐶,∴𝐴𝐹//平面𝐷𝐸𝐶.(II)取𝐵𝐶中点𝑁,连结𝐷𝑁，∴𝐷𝑁//𝐴𝐵所以直线𝐴𝐵与平面𝐷𝐸𝐶所成角即为直线𝐷𝑁与平面𝐷𝐸𝐶所成角,过𝑁作𝑁𝐻⊥𝐸𝐶,垂足为𝐻,连接𝐷𝐻.∵平面𝐷𝐸𝐶∩平面𝐸𝐵𝐶=𝐸𝐶,𝑁𝐻⊂平面𝐸𝐵𝐶，𝑁𝐻⊥𝐸𝐶∴𝑁𝐻⊥平面𝐷𝐸𝐶.𝐷𝐻为斜线𝐷𝑁在面𝐷𝐸𝐶内的射影，∴∠𝐻𝐷𝑁为直线𝐷𝑁与平面𝐷𝐸𝐶所成角，在𝑅𝑡𝛥𝐷𝑁𝐻中，𝐻𝑁=√22,𝐷𝑁=2∴sin∠𝐻𝐷𝑁=𝐻𝑁𝐷𝑁=√24∴直线𝐴𝐵与平面𝐷𝐸𝐶所成角的正弦值为√24.20．【解析】（1）𝑀𝑁的中点坐标为.12,√24/，设𝑀（𝑥1，𝑦1），𝑁（𝑥2，𝑦2），∴𝑥1+𝑥2＝1，𝑦1+𝑦2＝√22，∴{𝑥122+𝑦12=1𝑥222+𝑦22=1,两式相减可得12（𝑥1+𝑥2）(𝑥1−𝑥2)+（𝑦1+𝑦2）(𝑦1−𝑦2)＝0，即12（𝑥1﹣𝑥2）+√22(𝑦1−𝑦2)=0，∴𝑘𝑀𝑁=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2=−√22，∴直线𝑀𝑁的方程为𝑦−√24＝−√22.𝑥−12/，即𝑥+√2𝑦−1＝0，证明（2）：当直线𝑀𝑁斜率不存在时，平行四边形𝑂𝑀𝐴𝑁为菱形，易得𝑆𝑂𝑀𝐴𝑁＝√62设直线𝑀𝑁的方程为：𝑦＝𝑘𝑥+𝑚与椭圆𝐶相交于𝑀、𝑁两点，设𝑀（𝑥1，𝑦1），𝑁（𝑥2，𝑦2），将其代入𝑥122+𝑦12=1得(2𝑘2+1)𝑥2+4𝑘𝑚𝑥+2（𝑚2−1）＝0，△＝16𝑘2𝑚2−8(2𝑘2+1)(𝑚2﹣1)＞0即2𝑘2+1＞𝑚2，又𝑥1+𝑥2=−4𝑘𝑚2𝑘2+1,𝑥1•𝑥2＝2(𝑚2−1)2𝑘2+1，∴𝑦1+𝑦2＝𝑘（𝑥1+𝑥2）+2𝑚＝−4𝑘𝑚2𝑘2+1+2𝑚＝2𝑚2𝑘2+1，∵四边形𝑂𝑀𝐴𝑁为平行四边形．答案第3页，总4页∴𝑂𝐴⃑⃑⃑⃑⃑⃑=𝑂𝑀⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+𝑂𝑁⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(𝑥1+𝑥2，𝑦1+𝑦2)＝(−4𝑘𝑚2𝑘2+1,2𝑚2𝑘2+1)∴点𝐴坐标为.−4𝑘𝑚2𝑘2+1,2𝑚2𝑘2+1/∵点𝐴在椭圆𝐶上，∴8𝑘2𝑚2(2𝑘2+1)2+4𝑚2(2𝑘2+1)=1，整理得4𝑚2＝2𝑘2+1∴|𝑀𝑁|=√1+𝑘2·√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1