天津市第一中学2020届高三数学上学期第一次月考试题（PDF）

2天津一中2019-2020高三年级一月考数学试卷（理）本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!一、选择题：1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|12logx≥﹣1}，则A∪B＝（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，2]C．（0，1）D．（0，2）2．对一切θ∈R，3m2﹣12m＞sinθcosθ恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣13，12）B．（﹣∞，﹣13）∪（12，+∞）C．（﹣12，13）D．（﹣∞，﹣12）∪（13，+∞）3．把函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．12xB．12xC．3xD．712x4．已知a＝30.1，b＝log32，c＝cos4，则（）A．c＜a＜bB．a＜c＜bC．c＜b＜aD．b＜c＜a5．若sin（α﹣4）＝12，则cos（2+2α）＝（）A．34B．23C．﹣12D．13天津一中2019-2020高三年级一月考数学试卷36．已知f（x）是定义在R上的奇函数，若f（2+x）＝f（﹣x），f（1）＝3，则f（2018）+f（2019）的值为（）A．﹣3B．0C．3D．67．用边长为18cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm8．设函数f（x）＝2(),024,0xxxeexxxx，若函数g（x）＝f（x）﹣ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）9．已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，∈（0，2），其图象关于直线x＝6对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝2，将函数f（x）的图象向左平移6个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）A．[,62kk]（k∈Z）B．[,2kk]（k∈Z）C．[5,36kk]（k∈Z）D．[7,1212kk]（k∈Z）二、填空题：10．已知复数z＝2aii（a∈R）的实部为﹣1，则|z|＝11．已知1sincos3(0)，则44cossin的值是．412．已知函数()(1)(,)xfxbxeaabR．若曲线()yfx在点(0，(0))f处的切线方程为yx，则a，b的值分别为a=，b=．13．已知函数f（x）＝|log3x|，实数m，n满足0＜m＜n，且f（m）＝f（n），若f（x）在[m2，n]的最大值为2，则nm＝．14．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i（i＝1，2）个球放在甲盒中，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数ξi（i＝1，2），则E（ξ1）+E（ξ2）的值为15．已知函数f（x）＝sin2x﹣2cos2x+1，有以下结论：①若f（x1）＝f（x2），则x1﹣x2＝kπ（k∈Z）：②f（x）在区间[﹣78，﹣34]上是增函数：③f（x）的图象与g（x）＝﹣2cos（2x﹣23）图象关于x轴对称：④设函数h（x）＝f（x）﹣2x，当θ＝12时，h（θ﹣2）+h（θ）+h（θ+2）＝﹣2．其中正确的结论为．5三、解答题：16．已知02，5cos()45．（1）求tan()4的值；（2）求sin(2)3的值．17．已知函数()2sincosfxxxxx，()fx为()fx的导数．（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0A，(0))f处的切线方程；（Ⅱ）证明：()fx在区间(0,)上存在唯一零点；（Ⅲ）设2()2()gxxxaaR，若对任意1[0x，]，均存在2[1x，2]，使得12()()fxgx，求实数a的取值范围．18．已知函数2()sin(2)sin(2)2cos33fxxxx，其中0，且函数()fx的最小正周期为（1）求的值；（2）求()fx的单调增区间（3）若函数()()gxfxa在区间[4，]4上有两个零点，求实数a的取值范围．619．设椭圆22221(0)xyabab的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为53，||13AB.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的3倍，求的值.20．已知函数()fxlnx，2()1agxbxx，(,)abR（Ⅰ）当1a，0b时，求曲线()()yfxgx在1x处的切线方程；（Ⅱ）当0b时，若对任意的[1x，2]，()()0fxgx…恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当0a，0b时，若方程()()fxgx有两个不同的实数解1x，212()xxx，求证：122xx．7参考答案：一．选择题（共9小题）1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|logx≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故选：B．2．【解答】解：对一切θ∈R，3m2﹣m＞sinθcosθ恒成立，转化为：3m2﹣m＞sinθcosθ的最大值，又θ∈R知sinθcosθ∈[﹣，]，sinθcosθ的最大值为；所以3m2﹣m＞；可得m＜﹣或m＞．故选：B．3．【解答】解：函数f（x）＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y＝sin2x，再把所得曲线向右平移个单位长度，可得y＝sin2（x）＝sin（2x﹣）由对称轴方程2x﹣＝，k∈Z当k＝﹣1时，可得一条对称轴x＝8故选：A．4．【解答】解：∵30.1＞30＝1，0＝log31＜log32＜log33＝1，，cos4＜0；∴c＜b＜a．故选：C．5．【解答】解：∵sin（α﹣）＝，则cos（+2α）＝﹣cos[π﹣（+2α）]＝﹣cos（﹣2α）＝﹣cos（2α﹣）＝﹣1+2＝﹣1+2×＝﹣，故选：C．6．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），又f（2+x）＝f（﹣x），∴f（2+x）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，∴f（2018）+f（2019）＝f（4×504+2）+f（4×504+3）＝f（2）+f（3），又f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，∴f（2018）+f（2019）＝﹣3．故选：A．97．【解答】解：设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意得，V＝x（18﹣2x）2（0＜x＜9），V′＝12（3﹣x）（9﹣x），令V′＝0，则在（0，9）内有x＝3．故当x＝3时，V有最大值；故选：C．8．【解答】解：由y＝f（x）﹣ax恰有两个零点，而当x＝0时，y＝f（0）﹣0＝0，即x＝0是函数的一个零点，故当x≠0时，必有一个零点，即函数与函数y＝a必有一个交点，作出函数h（x）图象如下所示，由图可知，要使函数h（x）与函数y＝a有一个交点，只需0＜a＜2即可．故实数a的取值范围是（0，2）．10故选：A．9．【解答】解：已知函数f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，0∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝＝•，∴ω＝2．再根据其图象关于直线x＝对称，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（2x++）＝cos2x的图象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则函数g（x）的单调递减区间是[kπ，kπ+]，k∈Z，故选：B．二．填空题（共6小题）10．【解答】解：∵z＝＝，∴，即a＝5．∴z＝﹣1+2i，则|z|＝．故答案为：．1111．【解答】解：把sinα+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝﹣，则sinαcosα＝﹣，则cos4α+sin4α＝（sin2α+cos2α）2﹣2sin2αcos2α＝1﹣2（）2＝．故答案为：．12．【解答】解：()(1)xfxbxea得()(1)xfxebxb，曲线()yfx在点(0，(0))f处的切线方程为yx．(0)1f，(0)0f，即11b，10a，解得1a，2b，故答案为：1，2．13．【解答】解：∵f（x）＝|log3x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）＝f（n），∴﹣log3m＝log3n，∴mn＝1．∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f（x）在[m2，1）上是减函数，在（1，n]上是增函数，∴﹣log3m2＝2，或log3n＝2．若﹣log3m2＝2是最大值，得m＝，则n＝3，此时log3n＝1，满足题意条件．那么：同理：若log3n＝2是最大值，得n＝9，则m＝，此时﹣log3m2＝4，不满足题意条件．12综合可得m＝，n＝3，故，故答案为9．14．【解答】解：甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1，2，则P（ξ1＝1）＝，P（ξ1＝2）＝．则E（ξ1）＝；甲盒中含有红球的个数ξ2的取值为1，2，3，则P（ξ2＝1）＝＝，P（ξ2＝2）＝＝，P（ξ2＝3）＝＝．则E（ξ2）＝．∴E（ξ1）+E（ξ2）＝．故答案为：．15．【解答】解：函数化简可得f（x）＝sin2x﹣2cos2x+1＝2sin（2x﹣），对于①：若f（x1）＝f（x2），可知x1，x2关于对称轴是对称的，即x1+x2＝，∴①不对；对于②：令2x﹣，可得；∴f（x）在区间[﹣，﹣]上是增函数：②正确；13对于③：f（x）的图象关于x轴对称，可得y＝﹣2sin（2x﹣）＝﹣2cos（2x﹣）；∴③对；对于④：设函数h（x）＝f（x）﹣2x＝2sin（2x﹣）﹣2x当θ＝时，h（θ﹣2）＝2sin（2（θ﹣2）﹣）﹣2（θ﹣2）＝2sin（2θ﹣4﹣）﹣（2θ﹣4）h（θ）＝2sin（2θ﹣）﹣2θh（θ+2）＝2sin（2θ+4﹣）﹣（2θ+4）∴h（θ﹣2）+h（θ）+h（θ+2）＝﹣．故答案为：②③④三．解答题（共5小题）16．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得，sin()4的值，可得tan()4的值．（2）先求得tan的值，再利用二倍角公式求得sin2、cos2的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(2)3的值．【解答】解：（1）已知02，5cos()45，225sin()1cos()445，sin()4tan()24cos()4．14（2）tan1tan()241tan，1tan3，2222sincos2tan3sin2sincostan15，222222cossin1tan4cos2sincostan15，343sin(2)310．17．【分析】（Ⅰ）求出()fx，推出(0)0f，(0)0f，然后求解曲线()yfx在点(0A，(0))f处的切线方程．（Ⅱ）设()()gxfx，则()cossin1gxxxx，()cosgxxx．求出函数的导数，得到函数的单调区间，然后转化求解函数的零点．（Ⅲ）由已知，转化为()()minminfxgx，求出()mingxg（1）1a．设为0x，且当0(0,)xx时，()0fx