天津市部分区（五区联考）2019届高三数学下学期二模考试试题 理（PDF）

天津市部分区2019年高三质量调查试卷（二）数学（理）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案BDBAACBD二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．1255i-10．3011．8312．相交13．6314．84三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）由题意，得2()cossin3cosfxxxx=−………………………………1分13sin2(1cos2)22xx=−+…………………………………3分133sin2cos2222xx=−−3sin(2)32x=−−.…………5分所以()fx的最小正周期22Tp==p，其最大值为312−.…6分（Ⅱ）令2,3zx=−则有函数2sinyz=的单调递增区间是2,2,22kkk−++Z.………7分由222232kxk−+−+,得5,.1212kxkk−++Z………9分设5,,,331212ABxkxkk==−++Z，易知,312AB=I.………………………………………………………12分所以，当,33x时,()fx在区间,312上单调递增；在区间123，上单调递减.………………13分16．解：（Ⅰ）设事件A为“甲恰好闯关3次才闯关成功的概率”，则有2121125()1(1)23322318PA=−+−=，……………………………4分（Ⅱ）由已知得：随机变量𝛏的所有可能取值为2,3,4，……………………………5分所以，()211232721221P==+=，………………………………………6分12112111(3)1(1)233223223313P==−+−+=，……………………8分()111411223212P==−−=.……………………………………10分234从而…………………………………………………12分所以，7115()234123122Ex=???.…………………………………13分17．解：（Ⅰ）证明：因为,QP分别是,AEAB的中点，所以，1//,2PQBEPQBE=，……2分又1C//,2DBEDCBE=，所以，//PQDC，PQ平面ACD，DC平面ACD，…………3分所以，//PQ平面ACD.……4分（Ⅱ）因为DC⊥平面ABC，90.ACB=以点C为坐标原点，分别以,,CDCACBuuuruuuruuur的方向为,,zxy轴的正方向建立空间直角坐标系.……………………………………………………………………………5分则得(0,0,0),(0,4,0),(0,0,4),(2,0,0),(4,0,4)CABDE，………………………6分所以(0,4,4),(2,0,4)ABDE=−=uuuruuur，……………………………………………7分所以10cos,5ABDEABDEABDE==uuuruuuruuuruuuruuuruuur，………………………………………8分所以异面直线AB与DE所成角的余弦值105.…………………………………9分P71213112（Ⅲ）由（Ⅱ）可知(0,4,4)AB=−uuur，(4,4,4)AE=−uuur，设平面ABE的法向量为(),,,nxyzr=00nABnAE==ruuurruuur则，=+−=+−0444044zyxzy(0,1,1)nr所以=.………………………10分由已知可得平面ACD的法向量为以(0,0,4)CBuuur=，所以2cos,2nBCnBCnBC==ruuurruuurruuur.………………………………………….……12分故所求平面ACD与平面ABE所成锐二面角的大小为45.......……….………13分18．解：（Ⅰ）设等比数列{}na的公比为𝒒，.……………………………………………1分由432293aaa−==得222(2)93aqqa−==，.......…………………………………………2分解得3q=或1q=-.......………………………………………………………………3分因为数列{}na为正项数列，所以3q=，...………………………....………………4分所以，首项211aaq==，..........………………………………………………………5分故其通项公式为13nna-=..........………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得()32221log(21)(21)nnbnann+=−=−+，.......…………………8分所以11111()(2n1)(21)22121nbnnn==−−+−+，.......………………………10分所以12111111111(1)23352121nnTbbbnn=+++=−+−++−−+LL1112422n=−+.......……………………………………………………13分19．解：（Ⅰ）由椭圆的一个焦点为()11,0F−知:1c=，即221ab−=.①....………2分又因为直线11BF的方程为0bxyb−+=，即2321bb=+，所以3b=.……4分由①解得24a=.故所求椭圆C的标准方程为22143xy+=....…………………………………………5分（Ⅱ）假设存在过点A的直线l适合题意，则结合图形易判断知直线l的斜率必存在，于是可设直线l的方程为()2ykx=−，...............…………………………………6分由()221432xyykx+==−，得()2222341616120kxkxk++−=−.（*）.......………8分因为点A是直线l与椭圆C的一个交点，且2Ax=所以22161234ABkxxk−=+，所以228634Bxkk−+=，即点2228612,3434kkBkk−−++....……………………………………………………10分所以2221612,3434kkOAOBkk+=−++uuuruuur，即222141612,73434kkOTkk=−++uuur.因为点T在圆222xy+=上，所以2222221612273434kkkk+−=++，……11分化简得42488210kk−−=，解得234k=，所以32k=.………………12分经检验知，此时（*）对应的判别式0，满足题意.………………………13分故存在满足条件的直线l，其方程为()322yx=−.……………….……14分20．解：（Ⅰ）当2a=时，()ln2fxxx=−，所以1()2fxx=−...............………………1分()1121f=−=−，..........………………………………………….....……...……2分则切线方程为()21yx+=−−，即10xy++=.………………....……………3分（Ⅱ）①当0a=时，()lnfxx=有唯一零点1x=；…………………............………4分②当0a时，则()0fx，()fx是区间()0,+上的增函数，因为()10fa=−，()()10aaafeaaeae=-=-，所以()()10affe，即函数()fx在区间()0,+有唯一零点；………6分③当0a时，令()0fx=得1xa=，所以，当10,xa时，()0fx，函数()fx在区间10,a上是增函数；且−→→)(,0xfx；当1,xa+时，()0fx，函数()fx是在1+a，上是减函数，且−→+→)(,xfx；所以在区间()0,+上，函数()fx的极大值为11ln1ln1faaa=−=−−，…8分由10fa，即ln10a--，解得1ae，故所求实数a的取值范围是1,e+.…………………………………………9分（Ⅲ）设120xx，由()10fx=，()20fx=，可得11ln0xax-=，22ln0xax-=，所以()1212lnlnxxaxx-=-.所以1212lnlnxxaxx−=−…........................…10分要证122xxa+，只需证12()2axx+,即证121212lnln()2xxxxxx−+−，即()1212122lnxxxxxx-+.…………………11分令121xtx=，于是()()121212221lnln1xxtxtxxxt−−++，…………………12分设函数()()()21ln11thtttt-=-+，求导得()()()()222114011thttttt−=−=++，所以函数()ht是()1,+上的增函数，所以()()10hth=，即不等式()21ln1ttt-+成立，故所证不等式122xxa+成立.…………………………………………………14分