江苏省南京市2019届高三数学二轮专题复习 专题13（选讲）直线与圆、圆锥曲线难点专项研究（pdf）

南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第1页共33页专题13：圆锥曲线难点专项研究目录问题归类篇...............................................................................................................................................................2类型一：圆的轨迹问题...................................................................................................................................2类型二：定值问题...........................................................................................................................................6类型三：定点定直线问题.............................................................................................................................19南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第2页共33页问题归类篇类型一：圆的轨迹问题一、高考回顾1(08年高考题)．满足条件AB＝2，AC＝2BC的三角形ABC的面积的最大值是．答案:22．解:因为AB＝2(定长)，可以以AB所在的直线为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系，则A(－1，0)，B(1，0)，设C(x，y)，由AC＝2BC可得(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋y2，化简得(x－3)2＋y2＝8，即C在以(3，0)为圆心，22为半径的圆上运动．又SΔABC＝12·AB·|yc|＝|yc|≤22．2（13年高考题）．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．答案：(1)y＝3或3x＋4y－12＝0；(2)a的取值范围为[0，125]解：（1）由题设点C(a，2a－4)，又C也在直线y＝x－1上，∴2a－4＝a－1，∴a＝3∴⊙C:(x－3)2＋(y－2)2＝1，由题，过A点切线方程可设为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，则|3k＋1|k2＋1＝1，解得：k＝0，－34，∴所求切线为y＝3或y＝－34x＋3（2）设点C(a，2a－4)，M(x0，y0)，∵MA＝2MO，A(0，3)，O(0，0)，∴x02＋(y0－3)2＝4(x02＋y02)，即x02＋y02＝3－2y0，又点M在圆C上，∴(x0－a)2＋(y0－2a＋4)2＝1，两式相减得ax0＋(2a－3)y0－(5a22－8a＋9)＝0，由题以上两式有公共点，∴|a2＋(2a－3)(2a－4)－(5a22－8a＋9)|a2＋(2a－3)2≤1整理得：|5a22－6a＋3|≤5a2－12a＋9，即(5a2－12a＋6)2≤4(5a2－12a＋9)，令t＝5a2－12a＋6，则t2≤4(t＋3)，解得：－2≤t≤6，∴－2≤5a2－12a＋6≤6，解得：0≤a≤125．3（17年高考题）.在平面直角坐标系xOy中,A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆Ox2＋y2＝50上,若PA→·PB→≤20，则点P的横坐标的取值范围是.答案：[－52，1]二、方法联想1.定义圆xyAlOB南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第3页共33页已知平面上一定点A，则满足PA＝r(r＞0)的点P的轨迹是一个圆．2.阿波罗尼斯圆结论1：已知平面上两定点A、B，则所有满足PAPB＝k(k＞0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆．3.向量数量积圆结论2：已知平面上两定点A、B，且AB＝m，则所有满足PA→·PB→＝λ(λ＋m24＞0)的点P的轨迹是一个圆．推导方法1：取AB中点M，PA→·PB→＝(PM→＋MA→)(PM→＋MB→)＝|PM→|2－|MA→|2＝|PM→|2－m24＝λ，所以|PM→|2＝m24＋λ.推导方法2：建系设点法.4.距离平方圆结论3：已知平面上两定点A、B，且AB＝m，则所有满足PA2＋PB2＝λ(其中λ2－m24＞0)的点P的轨迹是一个圆．推导方法1：建系设点法.推导方法2：取AB中点M.利用余弦定理代入cos∠PMA＝－cos∠PMB化简得|PM|2＝λ2－m24.推导方法3：取AB中点M.利用“平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和”得PA2＋PB2＝2(AM2＋PM2)＝2((m2)2＋PM2)＝λ得PM2＝λ2－m24.5.求轨迹方程的常用方法有：(1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0.(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程.(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.(4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程.(5)参数法.三、方法应用例1.已知直线22ykxk与曲线232xyx交于AB，两点，平面上的动点P满足2PAPB≤，则||PO的最大值为．解：由2(2)ykx知直线过定点M2,2（），由231=2+22xyxx知定点M2,2（）为曲线的对称中心，即点M为AB的中点，所以=2|2PAPBPM|≤，故点P的轨迹为以M为圆心1为半径的圆（及内部），所以||||+1=22+1POOM≤.南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第4页共33页例2.已知等边三角形ABC的边长为2，点P在线段AC上，若满足等式PA→·PB→＝λ的点P有两个，则实数λ的取值范围是．答案：－14＜λ≤0（方法一：以AC中点为原点，AC所在的直线为x轴，设P(x，0)(－1≤x≤1)转化为方程有两解问题；方法二：以AB中点为原点，AB所在的直线为x轴，转化为圆与线段有两个公共点问题；方法三：向量投影法，记AP=x，问题可化为PA→·PB→＝PA→·(PA→＋AB→)＝PA→2－AP→·AB→＝x2－x＝λ在x∈[0，2]上有两解）例3．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上两个动点，且AB＝211．若直线l：y＝2x上存在唯一的一个点P，使得PA→＋PB→＝OC→，则实数a的值为．答案：2或-18（考查弦AB中点的轨迹，点P轨迹，直线与圆的位置关系）四、归类研究*1．等腰三角形ABC中，AB＝AC，腰AC上的中线BD＝2，则△ABC面积的最大值为________．答案：83.(利用等腰三角形的性质得到AB＝2AD，则点A是圆上动点，即求圆上动点到直线距离的最值)**2．在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝k(x－33)上存在一点P，圆x2＋(y－1)2＝1上存在一点Q，满足→OP＝3→OQ，则实数k的最小值为．答案：－3（考查代入法求轨迹，直线与圆的位置关系）***3．已知ΔABC中，AB＝AC＝3，ΔABC所在平面内存在点P使得PB2＋PC2＝3PA2＝3，则ΔABC面积的最大值为．答案：52316（建系转化为两轨迹圆有公共点问题研究面积最值）*4.在平面直角坐标系xOy中,点A(1,0),B(0,4)．若圆222(xm)(m0,)ymmR上不存在两点P使得225PAPB,则实数m的取值范围是________．答案:551708m.(知道轨迹的常见结论，更需要知道求轨迹的方法本身)**5.点P是圆C：x2＋y2＝1上动点，已知A(－1,2)，B(2,0)，则PA＋12PB的最小值为________．答案：52南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第5页共33页(已知动点轨迹为圆，将12PB转化为P到一个定点的距离，即求动点到两个定点距离之和）***6.已知椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12,一个焦点到相应的准线的距离为3,圆N的方程为(x－c)2＋y2＝a2＋c2(c为半焦距),直线l：y＝kx＋m(k0)与椭圆M和圆N均只有一个公共点,分别设为A,B．点P在圆N上,且PBPA＝22，则点P的坐标为．答案：(－1,1)或(－913,1913)(已知动点到到两个定点距离之比为定值，求定点坐标)***7.已知点A(0，1)，B(1，0)，C(t，0)，点D是直线AC上的动点，若AD≤2BD恒成立，则最小正整数t的值为____________．答案.4解析：直线AC的方程为xt＋y＝1即x＋ty－t＝0，设D(x，y)，∵AD≤2BD即AD2≤4BD2，∴x2＋(y－1)2＜4[(x－1)2＋y2]，x－432＋y＋132≥89表示圆外区域及圆周上的点，直线x＋ty－t＝0与圆x－432＋y＋132＝89相离，43－13t－t1＋t2≥223，化简得t2－4t＋1≥0，解得t≥2＋3或t≤2－3.∴正整数t的值的值为4.（本题考查直线与圆的位置，一元二次不等式解法，以及数形结合思想的运用）8.平面直角坐标系xOy中，已知F1、F2分别是椭圆C：x24＋y2＝1的左、右焦点.在椭圆C上任取一点P，点Q在PO的延长线上，且OQO=2．**（1）当点P在椭圆C上运动时，求点Q形成的轨迹E的方程；***（2）若过点P的直线l：y=x+m交（1）中的曲线E于A，B两点，求△ABQ面积的最大值．解：(1)设Q(x，y)，P(x1，y1)，由题OQO=2知，OQ→＝2PO→得(x，y)＝2(－x1，－y1)x＝－2x1y＝－2y1x1＝－12xy1＝－12y因为x124＋y12＝1所以轨迹E的方程为x216＋y24＝1.(2)设A(x1，y1)B(x2，y2)由x216＋y24＝1y＝x＋m得5x2＋8mx＋4m2－16＝0(*)此式Δ＞0显然成立，x1＋x2＝－85m，x1x2＝4m2－165，AB＝1＋1|x1－x2|＝2(x1＋x2)2－4x1x2＝440－2m25设P(x1，y1)，由（1）知Q(－2x1，－2y1)，因为y1＝x1＋m，y1－x1＝m，点Q到直线l的距离为d＝|－2x1＋2y1＋m|2＝|2m＋m|2＝322|m|，△ABQ面积S＝12AB·d＝12*440－2m25·322|m|＝65m2(20－m2)＝65－(m2－10)2＋100由南京市2019届高三数学二轮专题复习资料第6页共33页x24＋y2＝1y＝x＋m得5x2＋8mx＋4m2－4＝0此式Δ≥0解得0≤m2≤5，所以当m2＝5时，△ABQ面积的最大值为63.（本题考查了求轨迹问题、直线与椭圆的位置关系、弦长公式及函数最值问题，求面积最值时定义域问题易错，隐藏了直线与原椭圆的位置关系，最终二次函数不是在对称轴取得最大值，而是端点处.）类型二：定值问题一、高考回顾1（12年高考题）.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．已知(1，e)和(e，32)都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（i）若AF1－BF2＝62，求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1＋PF2是定值．解：（1）椭圆的方程为x22＋y2＝1.（2）（i）延长AF1交椭圆于点B1,设A(x1，y1)，B1(x2，y2)，设直线AF1的斜