（山东专版）2019版中考数学总复习 第三章 变量与函数 3.4 二次函数（讲解部分）检测（pdf）

２６　　　５年中考３年模拟§３．４　二次函数７３考点清单考点一　二次函数的解析式　　概念：一般地，形如①　ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ　（ａ≠０，ａ，ｂ，ｃ为常数）的函数叫做二次函数．灵活运用待定系数法求函数解析式，并注意自变量的实际意义和取值范围．二次函数的表达形式除了一般式之外，还有顶点式ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ，交点式ｙ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２），其中ｘ１和ｘ２是抛物线与ｘ轴交点的横坐标．考点二　二次函数的图象和性质　　１．二次函数的图象与性质函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）图象ａ＞０ａ＜０开口方向②　开口向上　③　开口向下　对称轴④　直线ｘ＝－ｂ２ａ　顶点坐标⑤　－ｂ２ａ，４ａｃ－ｂ２４ａ()　最值当ｘ＝⑥　－ｂ２ａ　时，ｙ有最⑦　小　值当ｘ＝⑧　－ｂ２ａ　时，ｙ有最⑨　大　值增减性在对称轴左侧ｙ随ｘ的增大而⑩　减小　ｙ随ｘ的增大而􀃊􀁉􀁓　增大　在对称轴右侧ｙ随ｘ的增大而􀃊􀁉􀁔　增大　ｙ随ｘ的增大而􀃊􀁉􀁕　减小　２．系数ａ、ｂ、ｃ的作用ａ决定抛物线开口方向及大小ａ＞０，抛物线开口􀃊􀁉􀁖　向上　ａ＜０，抛物线开口􀃊􀁉􀁗　向下　ｂ、ａ决定抛物线对称轴的位置(对称轴方程为ｘ＝􀃊􀁉􀁘　－ｂ２ａ　)ｂ＝０，对称轴为􀃊􀁉􀁙　ｙ轴　ｂａ＞０，对称轴在ｙ轴􀃊􀁉􀁚　左侧　ｂａ＜０，对称轴在ｙ轴􀃊􀁉􀁛　右侧　ｃ决定抛物线与ｙ轴交点的位置ｃ＝０，抛物线过􀃊􀁊􀁒　原点　ｃ＞０，抛物线与ｙ轴交于正半轴ｃ＜０，抛物线与ｙ轴交于负半轴续表ｂ２－４ａｃ决定抛物线与ｘ轴的交点个数ｂ２－４ａｃ＝０时，与ｘ轴有唯一交点（顶点）ｂ２－４ａｃ＞０时，与ｘ轴有两个不同交点ｂ２－４ａｃ＜０时，与ｘ轴没有交点特殊关系当ｘ＝１时，ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ当ｘ＝－１时，ｙ＝ａ－ｂ＋ｃ当ａ＋ｂ＋ｃ＞０，即ｘ＝１时，ｙ＞０当ａ－ｂ＋ｃ＞０，即ｘ＝－１时，ｙ＞０考点三　二次函数与一元二次方程及不等式的联系　　二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）中，当ｙ＝０时，ｘ的取值就是一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的解，即ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象与ｘ轴交点的横坐标就是一元二次方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的根．（１）当ｂ２－４ａｃ＞０时，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）与ｘ轴有两个交点，方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）有两个􀃊􀁊􀁓　不相等　的实数根．（２）当ｂ２－４ａｃ＝０时，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）与ｘ轴有一个交点，方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）有􀃊􀁊􀁔　两个相等　的实数根．（３）当ｂ２－４ａｃ＜０时，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）与ｘ轴无交点，方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）􀃊􀁊􀁕　没有　实数根．考点四　二次函数的综合应用　　１．实际问题　　主要考查利润最大化，方案最优化，面积最大等问题．一般步骤：（１）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式；（２）确定自变量取值范围；（３）分析所得函数的性质；（４）解决提出的问题．２．综合性问题二次函数的综合题型涉及的知识点一般较多，有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，几何图形的面积，三角形全等、相似、平行四边形、圆等，还有与一次函数联立解题等，综合性较强，有一定难度．这样的题型一般用到数形结合、分类讨论及函数与方程思想．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第三章　变量与函数２７　　　７４方法一　利用抛物线的平移规律解题的方法　　抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）通过配方可化为ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０）的形式，抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，具体如下：（１）上下平移：抛物线ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ向上平移ｍ（ｍ＞０）个单位，所得抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ＋ｍ；抛物线ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ向下平移ｍ（ｍ＞０）个单位，所得抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ－ｍ．（２）左右平移：抛物线ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ向左平移ｎ（ｎ＞０）个单位，所得抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－ｈ＋ｎ）２＋ｋ；抛物线ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ向右平移ｎ（ｎ＞０）个单位，所得的抛物线的解析式为ｙ＝ａ（ｘ－ｈ－ｎ）２＋ｋ．例１　（２０１７甘肃兰州，９，４分）将抛物线ｙ＝３ｘ２－３向右平移３个单位长度，得到新抛物线的表达式为（　　）　　Ａ．ｙ＝３（ｘ－３）２－３Ｂ．ｙ＝３ｘ２Ｃ．ｙ＝３（ｘ＋３）２－３Ｄ．ｙ＝３ｘ２－６解析　将抛物线ｙ＝３ｘ２－３向右平移３个单位长度，得到新抛物线的表达式为ｙ＝３（ｘ－３）２－３．答案　Ａ思路分析　因为抛物线向右平移３个单位长度，所以自变量加上３．方法规律　抛物线的平移规律记为“上加下减常数项，左加右减自变量”．　　变式训练　（２０１６泰安，２１，３分）将抛物线ｙ＝２（ｘ－１）２＋２向左平移３个单位，再向下平移４个单位，那么得到的抛物线的表达式为　　　　　　　　．答案　ｙ＝２（ｘ＋２）２－２解析　由题意知，抛物线的顶点坐标为（１，２），则平移后的顶点坐标为（－２，－２），所以得到的抛物线的表达式为ｙ＝２（ｘ＋２）２－２．方法二　二次函数的图象及性质的应用　　二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）中ａ、ｂ、ｃ的符号与二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象有着非常密切的关系．我们可以根据抛物线确定ａ、ｂ、ｃ的符号，也可以根据ａ的符号确定开口方向，根据公式确定抛物线的顶点和对称轴．例２　（２０１７烟台，１１，３分）二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象如图所示，对称轴是直线ｘ＝１．下列结论：①ａｂ＜０；②ｂ２＞４ａｃ；③ａ＋ｂ＋２ｃ＜０；④３ａ＋ｃ＜０．其中正确的是（　　）Ａ．①④Ｂ．②④Ｃ．①②③Ｄ．①②③④解析　①抛物线开口向上，所以ａ＞０，抛物线的对称轴为ｘ＝－ｂ２ａ＝１，所以ｂ＜０，所以ａｂ＜０．所以①正确．②抛物线与ｘ轴有两个交点，所以ｂ２－４ａｃ＞０，所以ｂ２＞４ａｃ．所以②正确．③由题图知，当ｘ＝１时，ｙ＝ａ＋ｂ＋ｃ＜０，又抛物线与ｙ轴交于负半轴，所以ｃ＜０，所以ａ＋ｂ＋２ｃ＜０．所以③正确．④由抛物线的对称性知当ｘ＝３时，ｙ＝９ａ＋３ｂ＋ｃ＞０．又－ｂ２ａ＝１，所以ｂ＝－２ａ．所以３ａ＋ｃ＞０．所以④错误．综上，正确的是①②③，故选Ｃ．答案　Ｃ　　变式训练　（２０１５潍坊，１２，３分）已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＋２的图象如图所示，顶点为（－１，０），下列结论：①ａｂｃ＜０；②ｂ２－４ａｃ＝０；③ａ＞２；④４ａ－２ｂ＋ｃ＞０．其中正确结论的个数是（　　）Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４答案　Ｂ解析　抛物线的开口向上，对称轴在ｙ轴左侧，故ａ＞０，ｂ＞０．抛物线与ｙ轴的交点在点（０，２）的上方，故ｃ＋２＞２，ｃ＞０．由此可得ａｂｃ＞０，故①错误．把抛物线向下平移两个单位可得抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ，此时抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ与ｘ轴有两个交点，故ｂ２－４ａｃ＞０，故②错误．当ａ＝２时，抛物线的解析式为ｙ＝２（ｘ＋１）２＝２ｘ２＋４ｘ＋２，与ｙ轴的交点坐标恰为（０，２），根据｜ａ｜越大，开口越小，可知要使抛物线与ｙ轴交点在点（０，２）的上方，则ａ＞２，故③正确．因为抛物线的对称轴为直线ｘ＝－１，且ｘ＝０时，ｙ＞２，所以由抛物线的对称性可知，ｘ＝－２时，ｙ＞２，即４ａ－２ｂ＋ｃ＋２＞２，４ａ－２ｂ＋ｃ＞０，故④正确，选Ｂ．方法三　二次函数与一元二次方程的联系　　函数与方程，函数与不等式可以互相转化，灵活运用．例３　（２０１７江苏南京，２６，８分）已知函数ｙ＝－ｘ２＋（ｍ－１）ｘ＋ｍ（ｍ为常数）．（１）该函数的图象与ｘ轴公共点的个数是（　　）Ａ．０Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．１或２（２）求证：无论ｍ为何值，该函数的图象的顶点都在函数ｙ＝（ｘ＋１）２的图象上；（３）当－２≤ｍ≤３时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．解析　（１）Ｄ．（２分）∵Δ＝（ｍ－１）２＋４ｍ＝（ｍ＋１）２≥０，∴该函数的图象与ｘ轴公共点的个数是１或２．（２）证明：ｙ＝－ｘ２＋（ｍ－１）ｘ＋ｍ＝－ｘ－ｍ－１２()２＋（ｍ＋１）２４，所以该函数的图象的顶点坐标为ｍ－１２，（ｍ＋１）２４()．把ｘ＝ｍ－１２代入ｙ＝（ｘ＋１）２，得ｙ＝ｍ－１２＋１()２＝（ｍ＋１）２４．因此，无论ｍ为何值，该函数的图象的顶点都在函数ｙ＝（ｘ＋１）２的图象上．（５分）（３）由（２）知，该函数的图象的顶点纵坐标为（ｍ＋１）２４，设ｚ＝􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋２８　　　５年中考３年模拟（ｍ＋１）２４，由二次函数的性质可知，当ｍ＝－１时，ｚ有最小值０；当ｍ＜－１时，ｚ随ｍ的增大而减小；当ｍ＞－１时，ｚ随ｍ的增大而增大．又当ｍ＝－２时，ｚ＝（－２＋１）２４＝１４；当ｍ＝３时，ｚ＝（３＋１）２４＝４．因此，当－２≤ｍ≤３时，该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是［０，４］．（８分）　　变式训练　（２０１６湖北荆州，１８，３分）若函数ｙ＝（ａ－１）ｘ２－４ｘ＋２ａ的图象与ｘ轴有且只有一个交点，则ａ的值为　　　　．答案　１，２或－１解析　当ａ＝１时，函数ｙ＝（ａ－１）ｘ２－４ｘ＋２ａ＝－４ｘ＋２，其图象与ｘ轴的交点为１２，０()；当ａ≠１时，则由题意得Δ＝（－４）２－４×２ａ×（ａ－１）＝０，解得ａ＝２或－１，故答案为１，２或－１．评析　分ａ＝１和ａ≠１两种情况进行解答．方法四　用二次函数解决实际问题　　利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应认清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要全面．此类问题一般先运用“总利润＝总售价－总成本”或“总利润＝每件商品所获利润×销售数量”，建立利润与价格之间的二次函数关系式，再求出这个函数关系式的顶点坐标，从而得到最大利润．例４　（２０１８滨州，２３，１２分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度ｙ（单位：ｍ）与飞行时间ｘ（单位：ｓ）之间具有函数关系ｙ＝－５ｘ２＋２０ｘ，请根据要求解答下列问题：（１）在飞行过程中，当小球的飞行高度为１５ｍ时，飞行的时间是多少？（２）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？（３）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？解析　（１）当ｙ＝１５时，－５ｘ２＋２０ｘ＝１５，化简得ｘ２－４ｘ＋３＝０，解得ｘ＝１或３，即飞行的时间是１ｓ或者３ｓ．（２）飞出和落地的瞬间，高度都为０，故ｙ＝０，所以当ｙ＝０时，０＝－５ｘ２＋２０ｘ，解得ｘ＝０或４，所以从飞出到落地所用时间是４－０＝４ｓ．（３）ｙ＝－５ｘ２＋２０ｘ＝－５（ｘ－２）２＋２０，∴当ｘ＝２时，ｙ取得最大值，此时，ｙ＝２０．所以在飞行过程中，小球飞行高度第２ｓ时最大，最大高度是２０ｍ．思路分析　（１）小球飞行高度为１５ｍ，即ｙ＝－５ｘ２＋２０ｘ中ｙ的值为１５，解方程求出ｘ的值，即为飞行时间．（２）小球飞出时和落地时的高度为０，据此可以得出０＝－５ｘ２＋２０ｘ，求出ｘ的值，再求差即可．（３）求小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？即求ｘ为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少？　　变式训练　（２０１６青岛，２０，８分）如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ（ａ≠０）表示．已知抛物线上Ｂ，Ｃ两点到地面的距离均为３４ｍ，到墙边ＯＡ的距离分别为１２ｍ，３２ｍ．　　（１）求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；（２）若该墙的长度为１０ｍ，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？解析　（１）由题意可知，Ｂ１２，３４()，Ｃ３２，３４()，代入ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ得：１４ａ＋１２ｂ＝３４，９４ａ＋３２ｂ＝３４，ìîíïïïï解得ａ＝－１，ｂ＝２．{∴ｙ＝－ｘ２＋２ｘ＝－（ｘ－１）２