（山东专版）2019版中考数学总复习 第三章 变量与函数 3.1 位置的确定与变量之间的关系（讲解部

１６　　　５年中考３年模拟第三章　变量与函数§３．１　位置的确定与变量之间的关系４５考点清单考点一　平面直角坐标系　　１．各象限点的坐标的符号特征２．点到坐标轴的距离点Ｐ（ｘ，ｙ）到ｘ轴的距离为｜ｙ｜，到ｙ轴的距离为②　｜ｘ｜　，到坐标原点的距离为ｘ２＋ｙ２．３．特殊点的坐标特征（１）坐标轴上点的坐标特征：ｘ轴上的点③　纵坐标为０　；ｙ轴上的点横坐标为０；原点的坐标为④　（０，０）　．（２）象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标⑤　互为相反数　．（３）平行于ｘ轴（或垂直于ｙ轴）的直线上的点的纵坐标相等，平行于ｙ轴（或垂直于ｘ轴）的直线上的点的横坐标相等．４．直角坐标系内点的对称和平移（１）点Ｐ（ｘ，ｙ）关于ｘ轴对称的点的坐标为（ｘ，－ｙ），点Ｐ（ｘ，ｙ）关于ｙ轴对称的点的坐标为⑥　（－ｘ，ｙ）　，点Ｐ（ｘ，ｙ）关于原点对称的点的坐标为（－ｘ，－ｙ）．（２）将点Ｐ（ｘ，ｙ）向右（或向左）平移ａ（ａ＞０）个单位，得到对应点为Ｐ′（ｘ＋ａ，ｙ）（或（ｘ－ａ，ｙ））；将点Ｐ（ｘ，ｙ）向上（或向下）平移ｂ（ｂ＞０）个单位，得到对应点为Ｐ′（ｘ，ｙ＋ｂ）（或（ｘ，ｙ－ｂ））．考点二　函数及其图象　　１．函数的定义一般地，在一变化过程中有两个变量ｘ与ｙ，如果对于ｘ在某一范围内的每一个值，ｙ都有唯一的值与它对应，那么就说ｙ是ｘ的函数，其中ｘ是自变量．［注意］（１）在某一变化过程中，有两个变量ｘ和ｙ；（２）ｙ的值随ｘ值的变化而变化；（３）对于ｘ的每一个值，ｙ都有唯一确定的值和它对应．２．函数值的定义对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当ｘ＝ａ时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值叫做ｘ＝ａ时的函数值．３．函数的表示方法解析法，列表法和⑦　图象法　．４．函数图象的画法列表、⑧　描点　、连线．考点三　函数的有关应用　　１．结合函数图象解决实际问题应注意以下几点（１）横轴与纵轴所表示的变量的实际意义．（２）各个变量的取值范围．（３）函数图象的拐点的意义．（４）函数图象的变化趋势的实际意义．２．根据函数图象解决有关问题时，运用数形结合思想是解题的关键．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋极坐标我们知道，平面直角坐标系能表示物体的位置，还有一种表示物体位置的工具叫极坐标．在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点，引一条射线Ｏｘ，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）．对于平面内任何一点Ｍ，用ρ表示线段ＯＭ的长度（有时也用ｒ表示），θ表示从Ｏｘ到ＯＭ的角度，ρ叫做点Ｍ的极径，θ叫做点Ｍ的极角，有序数对（ρ，θ）就叫点Ｍ的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系．极坐标系也有两个坐标轴：ρ（ｒ）（半径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或ｔ）．ρ（ｒ）坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离０°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的ｘ轴正方向．比如，极坐标中的点Ａ（３，６０°）表示了一个距离极点３个单位长度、和极轴夹角为６０°的点．（－３，２４０°）和（３，６０°）表示了同一点，因为（－３，２４０°）的半径为在夹角射线反向延长线（２４０°－１８０°＝６０°）上距离极点３个单位长度的地方．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第三章　变量与函数１７　　　４５方法一　在平面直角坐标系内求点的坐标　　例１　（２０１８潍坊，１６，３分）如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为１，点Ａ与原点重合，点Ｂ在ｙ轴的正半轴上，点Ｄ在ｘ轴的负半轴上，将正方形ＡＢＣＤ绕点Ａ逆时针旋转３０°至正方形ＡＢ′Ｃ′Ｄ′的位置，Ｂ′Ｃ′与ＣＤ相交于点Ｍ，则点Ｍ的坐标为　　　　．　　答案　－１，３３æèçöø÷解析　连接ＡＭ，在Ｒｔ△ＡＢ′Ｍ和Ｒｔ△ＡＤＭ中，ＡＢ′＝ＡＤ，ＡＭ＝ＡＭ，{∴Ｒｔ△ＡＢ′Ｍ≌Ｒｔ△ＡＤＭ．∴∠ＤＡＭ＝∠Ｂ′ＡＭ＝９０°－３０°２＝３０°．在Ｒｔ△ＡＤＭ中，ｔａｎ３０°＝ＤＭＡＤ，∴ＤＭ＝ＡＤｔａｎ３０°＝１×３３＝３３．∴Ｍ－１，３３æèçöø÷．思路分析　连接ＡＭ，证明Ｒｔ△ＡＢ′Ｍ≌Ｒｔ△ＡＤＭ，求出∠ＤＡＭ＝３０°，解直角三角形求得ＤＭ的长，注意Ｍ在第二象限，即可求出点Ｍ的坐标．　　变式训练　（２０１６江苏苏州，９，３分）矩形ＯＡＢＣ在平面直角坐标系中的位置如图所示，点Ｂ的坐标为（３，４），Ｄ是ＯＡ的中点，点Ｅ在ＡＢ上，当△ＣＤＥ的周长最小时，点Ｅ的坐标为（　　）　　Ａ．（３，１）Ｂ．３，４３()Ｃ．３，５３()Ｄ．（３，２）答案　Ｂ解析　由题意知Ａ（３，０），Ｄ３２，０()，Ｃ（０，４），设点Ｄ关于ＡＢ的对称点为Ｆ，则Ｆ９２，０()，连接ＣＦ，此时ＣＦ与ＡＢ的交点即为所求的点Ｅ，因为四边形ＯＡＢＣ为矩形，所以ＡＥ∥ＯＣ．所以△ＦＡＥ∽△ＦＯＣ，所以ＦＡＦＯ＝ＥＡＣＯ，则ＥＡ＝ＦＡ·ＣＯＦＯ＝４３．所以Ｅ３，４３()，故选Ｂ．方法二　从函数的图象读取信息　　根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．例２　（２０１７湖南邵阳，９，３分）如图所示的函数图象反映的过程是：小徐从家去菜地浇水，又去玉米地除草，然后回家，其中ｘ表示时间，ｙ表示小徐离他家的距离．读图可知菜地离小徐家的距离为（　　）Ａ．１．１千米Ｂ．２千米Ｃ．１５千米Ｄ．３７千米解析　此函数大致可分为以下几个阶段：①０～１５分钟，小徐从家走到菜地；②１５～２５分钟，小徐在菜地浇水；③２５～３７分钟，小徐从菜地走到玉米地；④３７～５５分钟，小徐在玉米地除草；⑤５５～８０分钟，小徐从玉米地回到家．综合上面的分析可知菜地离小徐家的距离为１．１千米．答案　Ａ思路分析　将函数图象分段剖析，分清楚每一段函数图象表示的实际含义．　　变式训练　（２０１８济南，１７，４分）Ａ，Ｂ两地相距２０ｋｍ，甲乙两人沿同一条路线从Ａ地到Ｂ地，甲先出发，匀速行驶．甲出发１小时后乙再出发．乙以２ｋｍ／ｈ的速度匀速行驶１小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开Ａ地的距离ｙ（ｋｍ）与时间ｔ（ｈ）的关系如图所示，则甲出发　　　小时后和乙相遇．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋１８　　　５年中考３年模拟　　答案　１６５解析　由图可知，甲行驶的过程中，ｙ与ｔ的函数关系为ｙ＝４ｔ（０≤ｔ≤５），甲、乙两人在乙提速后相遇．根据题意可知，乙在甲出发２小时后，开始提速，此时他距离Ａ地１×２＝２ｋｍ，设乙提速后对应的函数解析式为ｙ＝ｋｔ＋ｂ，将点（２，２），（４，２０）代入得２ｋ＋ｂ＝２，４ｋ＋ｂ＝２０，{解得ｋ＝９，ｂ＝－１６，{则乙提速后对应的函数解析式为ｙ＝９ｔ－１６，令９ｔ－１６＝４ｔ，解得ｔ＝１６５，即在甲出发１６５小时后，两人相遇．􀪋􀪋􀪋􀪋