折纸与数学的关系

折纸与数学的关系第一部分：折纸中的数学《折纸中的数学》——小课题研究王炯亮（1）课题的背景折纸起源于中国，而我酷爱折纸，因为折纸又称之为“工艺折纸”，是一种以纸张折成各种不同形状的艺术活动。如今折纸的发展不只是儿童的玩具，也是一种有益身心、开发智力和思维的活动。凭着我对折纸的热爱，在无数次的折纸实践中，我发现其实折纸与数学存在着密不可分的关系，在折纸中用到许多数学知识。（2）此小课题的目的如何将一张平面的纸张通过折叠成有空间概念的模型，比如幸运星、千纸鹤、或是纸飞机等等？这就是需要运用到折纸中最基础的“将一条线N等分”的方法，可是如何将一条直线进行多次等分，比如2、3、4、5、6等分呢？（3）研究的内容和步骤，最后形成的两个①二等分将一张矩形纸进行边对边的对折（即1×?=?）矩形的面积比为1:1，且是全等图形。②三等分如下图，在一个正方形ABCD的纸中，取对角线BD进行对折；然后打开后进行左右，边对边对折（AD对BC）；再将纸打开，在长方形EBCF中取对角线EC对折，与BD相交于点G，这时经G点作平行于BC的直线（即，红直线与上纸边AB的交点即3等分点，最后形成的两个长方下图中红线）形的面积比为2:1EBADOGFC③四等分在一张矩形的纸中，如何进行四等分呢，最简单的就是把这张纸边对边的对折再对折（?×?=?），最后形成的两个矩形的面积比为3:1④五等分如下图，在一张正方形的纸中，先进行对角线对折，再取其中一个角平分对折再对折，这时取第三条角平分线与左边的交点D，作与上下边的平行线，以此边为界而形成的两个长方形面积比为4:1（4）研究总结通过上面系列的等分折法证明，生活中无处不蕴含着数学知识。数学寓于折纸之中，对数学的了解总然会在折纸中增加人的能力和创造力。当折叠纸张的时候，很自然地会出现许多几何的概念和代数概念。诸如：正方形、矩形、直角三角形、全等、对角线、中点、内接、面积、梯形、垂直平分线。在每一次折纸时，用数学的眼光去观察，会发现折纸中包含着许许多多的数学奥秘。折纸凭借着折叠时产生的几何形的连续变化而形成物象。任何一张纸都是个几何图形，折叠后产生新的几何图形，组合后可称为几何体。这中间蕴含着数学、几何、测绘、造型等多学科、综合知识的运用。通过各种几何图形的折叠实践，可以领悟出角等分和边等分是使用最为普遍的方法。也发现了折叠中常见的几种类型：线线重合折叠、点线重合折叠、点点重合折叠、沿对称轴折叠。只有掌握了上面例举的几种方法，才能折出各种各样的纸模型来。而且事实证明，如果没有很好的掌握数学知识，稍有偏差就成不了等分，所折的出来的作品就会不规则，影响效果和美感。所以想做好折纸这项手工艺术活，也必须认真学好数学，研究数学的规律，才会创造出更多的新作品来。通过折纸可启发我们的创造力和逻辑思维，更可促进手脑的协调。折纸还可以丰富我们的生活，使我们的生活变得更加绚烂多彩。篇二：折纸与数学折纸与数学内容摘要：基础教育课程改革强调形成积极主动的学习态度；关注学生的学习兴趣和经验；倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力??。基于此，在七年级的新课改的教科书逐步增加了观察、探究、思考等内容，并把折纸作为数学学习的一种方法纳入到数学教学、学生探究中。回顾折纸的过程，我们不难发现：折纸的运用很广泛，它其中包括很多的数学原理，折纸让数学变得直观形象，而数学又为折纸提供了理论依据，数学与折纸密不可分。俄国生理学家巴甫洛夫说：“方法能够推动科学??科学是依赖于方法的进步程度为推动而前进的，这句话并不假。方法每前进一步，犹如我们每上升一阶一样，它会为我们展开更广阔的视野，因而看到前所未见的对象。正因为如此，所以拟定方法是我们首要的任务”。科学研究如此，学生的学习也是如此。要让学生真正成为学习与发展的主体，教师要指导学生从被动接受的学习方法转变为自主、合作、探究的学习方式，也就是掌握科学的学习方法。基础教育课程改革强调形成积极主动的学习态度；关注学生的学习兴趣和经验；倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力??。基于此，新的教科书逐步增加了观察、探究、思考等内容，并把折纸作为数学学习的一种方法纳入到数学教学、学生探究中。而折纸这种让学生既动手又动脑、让学生亲身经历积极参与问题的思考和分析的过程作为一种方法提了出来。以七年级教科书第一章内容为例，你会发现很多内容都用到了折纸法，立体图形的平面展开图，两条线段的比较大小，找已知线段的中点、做已知角的平分线、过一点（点的位置又分为在直线上或在直线外两种）做已知直线的垂线等都可以通过折纸的方法直观表现出来。有些数学家甚至建议，折纸可作为一种新颖有趣的集合教学法。对于喜欢动手的学生来说，学习会事半功倍。通常的折纸从正方形折起，一个正方形变形为一个盒子；一个正方形变形为一只鸟；一个正方形变形为一座宝塔；一个正方形变形为一个花篮??。在创作折纸图形时，折纸能手是由一张正方形的纸开始的，然后运用他们的想象、技巧和决心，变形为任意的形状。一个正方形之所以可以选为折纸的初始单元，现在分析起来是因为与矩形和其它四边形相比，它有四条对称轴；而虽然圆和有些正多边形有更多的对称轴，但它们又缺少正方形所拥有的直角，这就使制作上造成了较大的困难。折纸的对象被创造出来后，留在正方形纸张上的折痕，揭示出大量几何的对象和性质。在正方形纸张上的折痕表现出以下的数学概念：相似、轴对称、中心对称、全等、相似比、比例、以及类似于几何分形结构的迭代（在图案内不断地重复图案）。心灵手巧,数学寓于折纸之中，不管折纸人的身份如何，对数学的了解总然会在折纸中增加人们的能力和创造力。1、折纸的巧妙运用，让学生另辟蹊径，体验到了数学学习的乐趣。作为一名教师，我对折纸的认识颇有感触。记得教学中我曾遇到过此题的教学:点M.N为矩形ABCD一组对边的中点,将矩形的一角向内折叠,使点B落在直线MN上,得到落点Bˊ和折痕AE,并延长EBˊ交AD于点F,猜想,ΔAEF是什么三角形?并证明你的结论.看到此题后，大部分学生显得很茫然，眼睛紧盯着老师，只有前排的一个学生悄无声息拿出一张纸慢慢随着题意叠起来，逐渐地同学也开始跟着模仿。通过学生亲手折叠，我们很容易发现，点B和点Bˊ关于直线AE轴对称，若连接ABˊ，则ABˊ垂直平分EF，ΔAEF为等腰三角形，再加上∠BAE＝∠EABˊ，所以ΔAEF为等边三角形。这节课的学习对我今后的教学触动很大。试想：折纸的这些特点和规律如果用在今天的数学教学中，肯定对我们有很大的帮助，因为它直观地反映了图形之间的关系以及变化的规律，学生可以不借助任何现代技术，仅仅通过通过观察、分析自己手中的一张纸反复折叠、旋转就可以很容易地发现事物的规律，从而有效调动学生的积极性，自觉成为学习的主人。荷兰数学教育家汉斯、弗赖登塔尔也曾说过：“数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实，教学过程应该是帮助学生把现实转化成数学问题的过程”。随着课程改革的进一步实施，《数学课程标准》中也明确指出：“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将现实问题抽象成数学模型并解释与应用的过程，进而使学生获得对数学的理解??。”折纸正是满足了这种要求，为学生提供了真实的问题情景，通过学生的亲身经历，很容易找到问题的解决方法。2、折纸在数学中的运用，使得学生的数学学习更加直观生动。仅以初中数学为例，初中数学的图形教学主要以平面图形为主,辅以部分立体图形，而平面图形当中，又是以三角形,四边形,圆为主线逐步展开的。其中一些定理的证明就可用到折纸法，最明显的例子就是三角形内角和等于180度的证明，虽然方法不同，但如何把不同位置的三角形的三个内角组合在一起就成了本定理证明的重点，其中选择最多的方法是平移法；首先做平行线，利用平行线的性质：同位角相等或内错角相等，使得三个内角恰好构成了一个平角来证明。但如果利用折叠法的话，把三角形的三个内角沿某条线对折起来,很直观地构成一个平角,也能说明三角形的内角和为180度,而且这种方法既简单又通俗,学生还特别容易理解。而对于轴对称和中心对称图形来说,折纸的优势更是显而易见的（折叠前后两个图形会全等），另外还有一些辅助线的添加（例如，某些角平分线或中垂线中的一些辅助线的添加等），都为折纸法的应用创造了空间??，因此教师在教学中如果能很好地应用好折纸这种方法,许多内容的传授是简单易行的。而且这也体现了新课改的精神，把数学教学从热衷于无数的常规练习转到发展学生基础宽广的数学能力。教师不仅要教给学生一个结论，更重要的让学生学会自己去探究。要想使学生能够真正掌握数学知识并解决实际问题，教师就必须要引导学生去亲历知识发生、发展的过程，领会比教材本身更多的数学，逐步提高学生的学习能力。再如2003年天津市一道中考试题：在ΔABC中，已知AB等于2a，角A等于30度，CD是AB边的中线，若将ΔABC沿CD对折起来，折叠后两个小ΔACD与BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前ΔABC的面积的四分之一，有如下结论：（1）AC边的长可以是a；（2）折叠前的ΔABC的面积可以等于2（3）折叠后，以A、B为端点的线段AB与中线CD平行且相等。其中，正确结论的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D3个此题常见有两种解法，答案为D。难度系数为0.18，属于难题。本题通过几何图形的折叠问题，考查了学生在基本图形的运动、变化过程中，通过观察、分析、比较、判断、推理等思维活动，寻求几何基本元素及其关系的能力，同时也考查了分情况讨论的思想方法。此类习题每次在中考中都有所体现，还有加大的可能，小小的折纸提升了学生的思维方法。3、折纸运用还在进一步延伸。折纸的应用远不限于此，人们还可以用一个纸（二维物体）来折一个形体（三维物体）或由扇形来折一个圆锥，把一个立体的图形转化为一个平面的图形来考虑，这个过程明显地反映出空间中维数的变动。例如此题：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B,怎样爬行路线最短？如果要爬到顶点C呢？说出你的理由。从A到B，学生很容易想到：两点之间，线段最短。而从A到C,显然点A和点C不在一个平面上，那又如何找最短距离呢？我们不妨把此正方形平面展开，则点A和点C也在一个平面内，连接AC即为蚂蚁爬行的最短路线。研究折纸的创作过程也极具启发性。这与新课程强调的体验性学习不谋而合，让学生在学习过程中不仅要用自己的脑子去想，而且要用眼睛看，用耳朵听，用嘴说话，用手操作，即用自己的身体去亲身经历，用自己的心灵去感悟学习，重视学生的直接经验，鼓励学生对教科书的自我解读，自我理解，尊重学生的个人感受和独特见解，进而促进学生的全面发展，这不仅是理解知识的需要，更是激发学生生命活力、促进学生成长的需要。实验证明，折纸用在今天的数学学习中的确能起到事半功倍的作用。折纸使得数学问题更加直观形象，同时数学又为折纸的内容提供了丰富的内涵，数学与折纸密不可分。篇三：数学活动折纸与证明数学活动折纸与证明【学习重、难点】重点：经历操作、证明的过程，探究解决折纸问题的方法并会解决折纸问题难点：探究解决折纸问题的思路学习过程：活动一：(1)用一张长方形纸片折正方形，并探究操作的合理性。B(2)用一张长方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。?CDBCE活动二：（1）用一张正方形纸片折矩形。（2）用一张正方形纸片折等腰三角形，并探究操作的合理性。（3）用一张正方形纸片折等边三角形，并探究操作的合理性。CENFB活动三：(1)用一张等边三角形纸片折菱形，并探究操作的合理性。(2)用一张等腰三角形纸片折菱形，并探究操作的合理性。)观察与发现：小明将三角形纸片ABC(AB》AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．再分别沿DE、DF折叠展平纸片后得四边形AEDF（如图③）。试判断四边形AEDF是什么四边形？，并证明你的结论。AAADCDC图①