（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第二十一章 选修4系列 21.3 不等式选讲教师用书（PDF

１５４　　５年高考３年模拟Ｂ版（教师用书）§２１．３　不等式选讲对应学生用书起始页码Ｐ４２３考点一绝对值不等式高频考点　　１．不等式的基本性质（１）ａ＞ｂ⇔ｂ＜ａ；（２）ａ＞ｂ，ｂ＞ｃ⇒ａ＞ｃ；（３）ａ＞ｂ⇔ａ＋ｃ＞ｂ＋ｃ；（４）ａ＞ｂ，ｃ＞ｄ⇒ａ＋ｃ＞ｂ＋ｄ；（５）ａ＞ｂ，ｃ＞０⇒ａｃ＞ｂｃ；ａ＞ｂ，ｃ＜０⇒ａｃ＜ｂｃ；（６）ａ＞ｂ＞０，ｃ＞ｄ＞０⇒ａｃ＞ｂｄ；（７）ａ＞ｂ＞０⇒ａｎ＞ｂｎ（ｎ∈Ｎ，且ｎ＞１）；（８）ａ＞ｂ＞０⇒ｎａ＞ｎｂ（ｎ∈Ｎ，且ｎ＞１）．２．含有绝对值的不等式的解法（１）｜ｆ（ｘ）｜＞ａ（ａ＞０）⇔ｆ（ｘ）＞ａ或ｆ（ｘ）＜－ａ；（２）｜ｆ（ｘ）｜＜ａ（ａ＞０）⇔－ａ＜ｆ（ｘ）＜ａ．３．含有绝对值的不等式的性质（１）｜ａ｜＋｜ｂ｜≥｜ａ＋ｂ｜；（２）｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ＋ｂ｜；（３）｜ａ｜－｜ｂ｜≤｜ａ－ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜．考点二不等式的证明高频考点　　１．证明不等式的常用方法（１）比较法：比较法是证明不等式的一种最基本的方法，也是一种常用方法．比较法有差值法、比值法两种形式，但比值法必须考虑正负．比较法证明不等式的步骤：作差（商）、变形、判断符号．其中变形的主要方法是分解因式、配方，判断过程必须详细叙述．（２）综合法：从命题的已知条件出发，利用公理、定义及定理，逐步推导，从而推导出要证明的命题，即“由因导果”．（３）分析法：从需要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，即“执果索因”．（４）反证法：首先假设要证明的命题是不正确的，然后利用公理、定义、定理、性质等，逐步分析，得到和命题的条件（或已证明过的定理、性质，明显成立的事实等）矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明原来的结论正确．（５）放缩法：将所要证明的不等式的值适当放大（或缩小），使它由繁到简，达到证明的目的．如果所要证明的不等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值缩小，把分母缩小，则相应分式的值放大．（６）数学归纳法２．常用不等式（１）柯西不等式设ｎ为大于１的自然数，ａｉ，ｂｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）为实数，则∑ｎｉ＝１ａ２ｉ∑ｎｉ＝１ｂ２ｉ≥（∑ｎｉ＝１ａｉｂｉ）２，其中等号当且仅当ｂ１ａ１＝ｂ２ａ２＝…＝ｂｎａｎ时成立（当ａｉ＝０时，约定ｂｉ＝０，ｉ＝１，２，…，ｎ）．特殊地，当ｎ＝２时有：①柯西不等式的代数形式：设ａ１，ａ２，ｂ１，ｂ２均为实数，则（ａ２１＋ａ２２）（ｂ２１＋ｂ２２）≥（ａ１ｂ１＋ａ２ｂ２）２（当且仅当ａ１ｂ２＝ａ２ｂ１时，等号成立）．②柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则｜α｜｜β｜≥｜α·β｜．③三角不等式：设ｘ１，ｙ１，ｘ２，ｙ２，ｘ３，ｙ３∈Ｒ，则（ｘ１－ｘ２）２＋（ｙ１－ｙ２）２＋（ｘ２－ｘ３）２＋（ｙ２－ｙ３）２≥（ｘ１－ｘ３）２＋（ｙ１－ｙ３）２．（２）均值不等式：ａ１＋ａ２＋…＋ａｎｎ≥ｎａ１ａ２…ａｎ（ａ１，ａ２，…，ａｎ∈Ｒ＋），等号当且仅当ａ１＝ａ２＝…＝ａｎ时成立．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋对应学生用书起始页码Ｐ４２４一、绝对值问题的解题方法　　１．绝对值不等式的解法（１）含绝对值的不等式｜ｘ｜＜ａ与｜ｘ｜＞ａ的解集：不等式ａ＞０ａ＝０ａ＜０｜ｘ｜＜ａ｛ｘ｜－ａ＜ｘ＜ａ｝⌀⌀｜ｘ｜＞ａ｛ｘ｜ｘ＞ａ或ｘ＜－ａ｝｛ｘ｜ｘ∈Ｒ且ｘ≠０｝Ｒ　　（２）｜ａｘ＋ｂ｜≤ｃ，｜ａｘ＋ｂ｜≥ｃ（ｃ＞０）型不等式的解法：①｜ａｘ＋ｂ｜≤ｃ⇔－ｃ≤ａｘ＋ｂ≤ｃ；②｜ａｘ＋ｂ｜≥ｃ⇔ａｘ＋ｂ≥ｃ或ａｘ＋ｂ≤－ｃ．（３）｜ｘ－ａ｜＋｜ｘ－ｂ｜≥ｃ（ｃ＞０）和｜ｘ－ａ｜＋｜ｘ－ｂ｜≤ｃ（ｃ＞０）型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．２．证明绝对值不等式主要的三种方法（１）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明．（２）利用绝对值不等式｜｜ａ｜－｜ｂ｜｜≤｜ａ±ｂ｜≤｜ａ｜＋｜ｂ｜进行证明．（３）转化为函数问题，数形结合进行证明．已知函数ｆ（ｘ）＝｜２ｘ＋１｜＋｜２ｘ－３｜．（１）求不等式ｆ（ｘ）≤６的解集；（２）若关于ｘ的不等式ｆ（ｘ）＜｜ａ－１｜的解集非空，求实数ａ的取值范围．解析　（１）原不等式等价于ｘ＞３２，（２ｘ＋１）＋（２ｘ－３）≤６{或􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋第二十一章　选修４系列１５５　　－１２≤ｘ≤３２，（２ｘ＋１）－（２ｘ－３）≤６{或ｘ＜－１２，－（２ｘ＋１）－（２ｘ－３）≤６，{解得３２＜ｘ≤２或－１２≤ｘ≤３２或－１≤ｘ＜－１２，故不等式的解集为｛ｘ｜－１≤ｘ≤２｝．（２）∵ｆ（ｘ）＝｜２ｘ＋１｜＋｜２ｘ－３｜≥｜（２ｘ＋１）－（２ｘ－３）｜＝４，∴｜ａ－１｜＞４，解此不等式得ａ＜－３或ａ＞５．故实数ａ的取值范围是（－∞，－３）∪（５，＋∞）．　　１－１　（２０１８镇江期末，２１Ｄ）已知函数ｆ（ｘ）＝｜ｘ－ａ｜＋｜ｘ＋ａ｜，若对任意ｘ∈Ｒ，不等式ｆ（ｘ）＞ａ２－３恒成立，求实数ａ的取值范围．１－１解析　因为对任意ｘ∈Ｒ，不等式ｆ（ｘ）＞ａ２－３恒成立，所以ｆ（ｘ）ｍｉｎ＞ａ２－３．又｜ｘ－ａ｜＋｜ｘ＋ａ｜≥｜ｘ－ａ－（ｘ＋ａ）｜＝｜２ａ｜，所以｜２ａ｜＞ａ２－３①．解法一：｜ａ｜２－２｜ａ｜－３＜０，解得０≤｜ａ｜＜３，所以－３＜ａ＜３．解法二：①式等价于ａ＞０，２ａ＞ａ２－３{②或ａ≤０，２ａ＜－ａ２＋３{③，由②得０＜ａ＜３，由③得－３＜ａ≤０，所以－３＜ａ＜３．　　１－２　（２０１７苏北四市期末）已知ａ，ｂ，ｃ为正实数，１ａ３＋１ｂ３＋１ｃ３＋２７ａｂｃ的最小值为ｍ，解关于ｘ的不等式｜ｘ＋１｜－２ｘ＜ｍ．１－２解析　因为ａ，ｂ，ｃ为正实数，所以１ａ３＋１ｂ３＋１ｃ３＋２７ａｂｃ≥３３１ａ３·１ｂ３·１ｃ３＋２７ａｂｃ＝３ａｂｃ＋２７ａｂｃ≥２３ａｂｃ·２７ａｂｃ＝１８，当且仅当ａ＝ｂ＝ｃ时，取“＝”，所以ｍ＝１８．所以不等式｜ｘ＋１｜－２ｘ＜ｍ，即｜ｘ＋１｜＜２ｘ＋１８，所以－２ｘ－１８＜ｘ＋１＜２ｘ＋１８，解得ｘ＞－１９３，所以原不等式的解集为－１９３，＋∞()．　　１－３　（２０１８南京、盐城二模，２１Ｄ）对任意ｘ，ｙ∈Ｒ，求｜ｘ－１｜＋｜ｘ｜＋｜ｙ－１｜＋｜ｙ＋１｜的最小值．１－３解析　解法一：｜ｘ－１｜＋｜ｘ｜≥｜ｘ－１－ｘ｜＝１，当且仅当ｘ（ｘ－１）≤０，即０≤ｘ≤１时取等号．｜ｙ－１｜＋｜ｙ＋１｜≥｜ｙ－１－ｙ－１｜＝２，当且仅当（ｙ－１）（ｙ＋１）≤０，即－１≤ｙ≤１时取等号．所以｜ｘ－１｜＋｜ｘ｜＋｜ｙ－１｜＋｜ｙ＋１｜≥３，当且仅当０≤ｘ≤１，－１≤ｙ≤１时取等号，所以｜ｘ－１｜＋｜ｘ｜＋｜ｙ－１｜＋｜ｙ＋１｜的最小值为３．解法二：设ｆ（ｘ）＝｜ｘ－１｜＋｜ｘ｜＝２ｘ－１，ｘ≥１，１，０≤ｘ＜１，１－２ｘ，ｘ＜０，{所以ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝１．设ｇ（ｙ）＝｜ｙ－１｜＋｜ｙ＋１｜＝２ｙ，ｙ≥１，２，－１≤ｙ＜１，－２ｙ，ｙ＜－１，{所以ｇ（ｙ）ｍｉｎ＝２．所以｜ｘ－１｜＋｜ｘ｜＋｜ｙ－１｜＋｜ｙ＋１｜的最小值为３．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋二、不等式的证明方法　　不等式证明的常用方法有：（１）比较法；（２）综合法；（３）分析法；（４）反证法；（５）放缩法．（２０１９苏州期中）已知函数ｆ（ｘ）＝３ｘ＋６，ｇ（ｘ）＝１４－ｘ，若存在实数ｘ使ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＞ａ成立，求实数ａ的取值范围．解析　存在实数ｘ使ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＞ａ成立等价于ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）的最大值大于ａ．ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝３ｘ＋６＋１４－ｘ＝３·ｘ＋２＋１·１４－ｘ，由柯西不等式得（３·ｘ＋２＋１·１４－ｘ）２≤（３＋１）（ｘ＋２＋１４－ｘ）＝６４，所以ｆ（ｘ）＋ｇ（ｘ）＝３ｘ＋６＋１４－ｘ≤８，当且仅当ｘ＝１０时取“＝”．故实数ａ的取值范围是（－∞，８）．　　２－１　（２０１９苏州期末，２１Ｃ）设ａ，ｂ，ｃ都是正数，求证：ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ≥１２（ａ＋ｂ＋ｃ）．２－１证明　因为（ａ＋ｂ＋ｃ）ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ａ＋ｃ＋ｃ２ａ＋ｂ()＝１２［（ａ＋ｂ）＋（ｂ＋ｃ）＋（ｃ＋ａ）］ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ａ＋ｃ＋ｃ２ａ＋ｂ()≥１２ａ＋ｂｃ２ａ＋ｂ＋ｂ＋ｃａ２ｂ＋ｃ＋ｃ＋ａｂ２ｃ＋ａæèçöø÷２＝１２（ａ＋ｂ＋ｃ）２．因为ａ，ｂ，ｃ都是正数，所以ａ２ｂ＋ｃ＋ｂ２ｃ＋ａ＋ｃ２ａ＋ｂ≥１２（ａ＋ｂ＋ｃ）．　　２－２　（２０１９常州期末，２１Ｃ）已知ａ＞０，ｂ＞０，求证：ａ＋ｂ＋１≥ａｂ＋ａ＋ｂ．２－２证明　因为ａ＋ｂ≥２ａｂ，ａ＋１≥２ａ，ｂ＋１≥２ｂ，所以上面三式相加，得２（ａ＋ｂ＋１）≥２ａｂ＋２ａ＋２ｂ，所以ａ＋ｂ＋１≥ａｂ＋ａ＋ｂ．　　２－３　（２０１７苏锡常镇四市一模）已知ａ，ｂ，ｃ为正数，且ａ＋ｂ＋ｃ＝３，求３ａ＋１＋３ｂ＋１＋３ｃ＋１的最大值．２－３解析　由柯西不等式可得（３ａ＋１＋３ｂ＋１＋３ｃ＋１）２≤（１２＋１２＋１２）·［（３ａ＋１）２＋（３ｂ＋１）２＋（３ｃ＋１）２］＝３×１２，∴３ａ＋１＋３ｂ＋１＋３ｃ＋１≤６，当且仅当３ａ＋１＝３ｂ＋１＝３ｃ＋１时取等号．∴３ａ＋１＋３ｂ＋１＋３ｃ＋１的最大值是６．　　２－４　（２０１７南通、泰州第一次调研，２１Ｃ）求函数ｙ＝３ｓｉｎｘ＋２２＋２ｃｏｓ２ｘ的最大值．２－４解析　ｙ＝３ｓｉｎｘ＋２２＋２ｃｏｓ２ｘ＝３ｓｉｎｘ＋４ｃｏｓ２ｘ．由柯西不等式，得（３ｓｉｎｘ＋４ｃｏｓ２ｘ）２≤（３２＋４２）·（ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ）＝２５，所以ｙｍａｘ＝５，此时ｓｉｎｘ＝３５．所以函数ｙ＝３ｓｉｎｘ＋２２＋２ｃｏｓ２ｘ的最大值为５．􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋