2019-2020学年高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.1 直线的斜率讲义 苏教版必修2

-1-2.1.1直线的斜率学习目标核心素养1．理解直线的倾斜角和斜率的概念及它们之间的关系．(难点)2．掌握过两点的直线斜率计算公式．(重点)3．了解直线的倾斜角的范围，能根据直线的倾斜角求出直线的斜率．(易错点)通过学习本节内容来提升学生的数学抽象、数学运算核心素养.1．直线的斜率已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率为k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)，如果x1＝x2，那么直线PQ的斜率不存在．2．直线的倾斜角(1)直线的倾斜角在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角，并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．倾斜角α的范围为0°≤α180°．(2)直线的斜率与倾斜角的关系①从关系式上看：若直线l的倾斜角为α(α≠90°)，则直线l的斜率k＝tan_α．②从几何图形上看：直线情形α的大小0°0°α90°90°90°α180°k的大小0k＝tanα不存在k＝tanα＝－tan(180°－α)k的范围0k0不存在k0-2-1.思考辨析(1)任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率．()(2)平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°.()(3)若两条直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等．()(4)若k是直线的斜率，则k∈R.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√[提示](1)与x轴垂直的直线没有斜率．(2)平行于x轴的直线的倾斜角是0°.(3)当两条直线的倾斜角都为90°时，两直线斜率不存在．2．若直线过点(1，2)，(4，2＋3)，则此直线的斜率是________．33[过点(1，2)，(4，2＋3)的斜率k＝（2＋3）－24－1＝33.]3．若直线AB的斜率为－2，其中A(－2，－3)，B(a，5)，则a的值是__________．－6[∵－3－5－2－a＝－2，∴a＝－6.]4．直线l的倾斜角α＝120°，则其斜率为________．－3[直线的斜率为tan120°＝－tan60°＝－3.]求直线的斜率【例1】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．(1)A(－1，0)，B(0，－2)；(2)A(－3，2)，B(2，－3)；(3)A(a，a＋b)，B(c，b＋c)；(4)A(2，－1)，B(m，－2)．思路探究：当x1≠x2时，利用y1－y2x1－x2求解直线的斜率，否则斜率不存在．[解](1)∵－1≠0，∴斜率存在，且k＝0－（－2）－1－0＝－2.(2)∵－3≠2，∴斜率存在，且k＝2－（－3）－3－2＝2＋3－2－3＝－1.(3)∵a≠c(否则A，B两点重合为一点)，-3-∴斜率存在，且k＝a＋b－（b＋c）a－c＝1.(4)当m＝2时，斜率不存在．当m≠2时，斜率k＝－1－（－2）2－m＝12－m.已知直线上两点(x1，y1)，(x2，y2)，表示直线的斜率时，要注意直线斜率存在的前提，即只有x1≠x2时才能用斜率公式求解．当x1＝x2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.当点的坐标中含有参数时，要注意对参数的讨论．1．过点P(－2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m＝________．1[m－4－2－m＝1，m＝1.]2．若斜率为2的直线经过A(3，5)，B(a，7)，C(－1，b)三点，则a，b的值分别为________．4，－3[7－5a－3＝2，∴a＝4，7－ba＋1＝2，∴b＝－3.]直线的倾斜角与斜率的综合应用【例2】已知直线l经过点P(1，1)，且与线段MN相交，且点M，N的坐标分别是(2，－3)，(－3，－2)．(1)求直线PM与PN的斜率；(2)求直线l的斜率k的取值范围．思路探究：(1)代入斜率公式，(2)数形结合求k的范围．[解](1)由题意与斜率公式可知，直线PM与PN的斜率分别为：kPM＝－3－12－1＝－4，kPN＝－2－1－3－1＝34.(2)如图所示，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线，当l由PN位置旋转到l′位置时，倾斜角增大到90°，又kPN＝34，∴k≥34.又当l从l′位置旋转到PM位置时，倾斜角大于90°，又kPM＝－4，∴k≤－4.综上所述，k∈(－∞，－4]∪34，＋∞.-4-1.当直线l的倾斜角是锐角时，斜率k0，反之也成立；当直线l的倾斜角是钝角时，斜率k0，反之也成立．2．当直线绕定点由与x轴平行(或重合)的位置按逆时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐增大到＋∞，按顺时针方向旋转到与y轴平行(或重合)的位置时，斜率由零逐渐减小到－∞.3．(1)若过点P(1，1)，Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是__________．(2)已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角α的取值范围是__________．(1)－∞，12(2)[45°，135°][(1)∵直线PQ的倾斜角为钝角，∴kPQ0，即2a－13－1＝2a－120，∴a12，即实数a的取值范围是－∞，12.(2)如图所示，由题意可知kPA＝4－0－3－1＝－1，kPB＝2－03－1＝1.则直线AP的倾斜角为135°，直线BP的倾斜角是45°.要使直线l与线段AB有公共点，需有45°≤α≤135°，即α的取值范围是45°≤α≤135°.]三点共线问题[探究问题]1．A(0，0)，B(1，2)，C(3，6)，三点是否在同一条直线上？[提示]三点在同一直线上，因为kAB＝2，kAC＝2，kAB＝kAC.直线AB，AC斜率相等，又过同一点，所以AB与AC重合．∴A，B，C三点共线．2．若三点A(a，2)，B(3，7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，则实数a的值为多少？[提示]∵kAB＝kBC，∴7－23－a＝7＋9a3＋2，解得a＝2或a＝29.-5-【例3】(1)已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，则x2＝________，y1＝__________．(2)若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a＋1b＝__________．思路探究：(1)kP1P2＝kP2P3＝1→分别解方程求x2，y1(2)kAB＝kAC→化简得a与b的关系→代入化简求值(1)70(2)12[(1)由α＝45°，故直线l的斜率k＝tan45°＝1，又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P2＝kP2P3＝kl，即5－y1x2－2＝1－53－x2＝1，解得x2＝7，y1＝0.(2)显然，直线斜率存在．由三点共线，得kAB＝kAC，即22－a＝2－b2，整理得2a＋2b＝ab.∴1a＋1b＝a＋bab＝a＋b2a＋2b＝12.]已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，若有x1＝x2＝x3或kAB＝kAC，则有A，B，C三点共线．利用斜率判断三点共线应注意以下三点：(1)用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否有两点连线垂直于x轴，即斜率不存在的情况；(2)当三点中任意两点所确定的直线的斜率相等，且过同一点时，三点才共线；(3)由斜率相等可以推出三点共线，但三点共线不一定推出任两点连线的斜率相等，还可能任两点连线的斜率都不存在．4．若三点A(－1，－2)，B(4，8)，C(5，x)在同一条直线上，求实数x的值．[解]由点A，B，C在同一条直线上可得kAB＝kAC，即－2－8－1－4＝－2－x－1－5，解得x＝10，故实数x的值为10.1．本节课的重点是理解直线的倾斜角与斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，难点是掌握倾斜角与斜率的对应关系．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求直线倾斜角的方法．-6-(2)求直线斜率的方法．(3)直线的倾斜角和斜率之间的关系．3．本节课的易错点是对直线倾斜角和斜率之间的对应关系理解不够透彻而致错．1．给出下列说法：①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是()A．1B．2C．3D．4C[①②③正确，④错误．垂直于x轴的直线没有斜率．]2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为________．33[k＝tan30°＝33.]3．若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y＝________．－1[kAB＝tan45°＝1＝y＋34－2，∴y＝－1.]4．已知直线l上两点A(－2，3)，B(3，－2)，求其斜率．若点C(a，b)在直线l上，求a，b间应满足的关系，并求当a＝12时，b的值．[解]由斜率公式得kAB＝－2－33＋2＝－1.∵C在直线l上，∴kAC＝－1，即b－3a＋2＝－1，∴a＋b－1＝0.当a＝12时，b＝1－a＝12.