2019-2020学年高中数学 第3章 数系的扩充与复数 3.1.3 复数的几何意义讲义 新人教B版

-1-3.1.3复数的几何意义学习目标核心素养1．理解复平面、实轴、虚轴等概念．(易混点)2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点)3．掌握复数模的定义及求模公式.通过复数的几何意义的学习，提升学生的直观想象、逻辑推理素养.一、复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.二、复数的几何意义1．复数z＝a＋bi一一对应复平面内的点Z(a，b)．2．复数z＝a＋bi一一对应平面向量OZ→.三、复数的模、共轭复数1．设OZ→＝a＋bi(a，b∈R)，则向量OZ→的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作|a＋bi|，且|a＋bi|＝a2＋b2.2．如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用z表示．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模一定是正实数．()[答案](1)√(2)×(3)×2．在复平面内，复数z＝1－i对应的点的坐标为()A．(1，i)B．(1，－i)C．(1,1)D．(1，－1)[解析]复数z＝1－i的实部为1，虚部为－1，故其对应的坐标为(1，－1)．-2-[答案]D3．已知复数z＝3＋2i，则z＝________；|z|＝________.[解析]∵z＝3＋2i，∴z＝3－2i，|z|＝32＋22＝13.[答案]3－2i13复数与复平面内点的关系【例1】(1)复数z＝－1＋2i所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)已知复数z＝x＋1＋(y－1)i在复平面内的对应点位于第二象限，则点(x，y)所成的平面区域是()(3)复数z＝1＋3i和z＝1－3i在复平面内的对应点关于()A．实轴对称B．一、三象限的角平分线对称C．虚轴对称D．二、四象限的角平分线对称[解析](1)由复数的几何意义知z＝－1＋2i对应复平面中的点为(－1,2)，而(－1,2)是第二象限中的点，故选B.(2)由题意，得x＋10，y－10，即x－1，y1，故点(x，y)所成的平面区域为A项中的阴影部分．(3)复数z＝1＋3i在复平面内的对应点为Z1(1，3)．复数z＝1－3i在复平面内的对应点为Z2(1，－3)．点Z1与Z2关于实轴对称，故选A.[答案](1)B(2)A(3)A解答此类问题的一般思路1．首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．-3-2．根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．1．实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：(1)位于第三象限；(2)位于第四象限；(3)位于直线x－y－3＝0上．[解]因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．(1)当实数x满足x2＋x－6＜0，x2－2x－15＜0，即－3＜x＜2时，点Z位于第三象限．(2)当实数x满足x2＋x－6＞0，x2－2x－15＜0，即2＜x＜5时，点Z位于第四象限，(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上.复数与平面向量的关系【例2】(1)向量OZ1→对应的复数是5－4i，向量OZ→2对应的复数是－5＋4i，则OZ→1＋OZ→2对应的复数是()A．－10＋8iB．10－8iC．0D．10＋8i(2)复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，则向量AB→表示的复数是________．[思路探究](1)先写出向量OZ1→，OZ→2的坐标，再求出OZ→1＋OZ→2的坐标．(2)利用AB→＝OB→－OA→，求出向量AB→的坐标，从而确定AB→表示的复数．[解析](1)因为向量OZ1→对应的复数是5－4i，向量OZ→2对应的复数是－5＋4i，所以OZ→1＝(5，－4)，OZ→2＝(－5,4)，所以OZ→1＋OZ→2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ→1＋OZ→2对应的复数是0.(2)因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量OA→与OB→，所以OA→＝(4,3)，OB→＝(－2，－5)，又AB→＝OB→－OA→＝(－2，－5)－(4,3)＝(－6，－8)，所以向量AB→表示的复数是－6－8i.[答案](1)C(2)－6－8i上例(2)中的条件不变，试求向量－12AB→表示的复数．[解]由上例(2)的解析知AB→＝(－6，－8)，-4-∴－12AB→＝(3,4)，所以向量－12AB→表示的复数是3＋4i.解答此类题目的一般思路是先写出向量或点的坐标，再根据向量的运算求出所求向量的坐标，从而求出向量所表示的复数．复数的模[探究问题]1．复平面内的虚轴的单位长度是1，还是i?提示：复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i.2．若复数(a＋1)＋(a－1)i(a∈R)在复平面内对应的点P在第四象限，则a满足什么条件？提示：a满足a＋1＞0，a－1＜0，即－1＜a＜1．【例3】(1)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是()A．－3B.3iC．±3iD．±3(2)求复数z1＝6＋8i及z2＝－12－2i的模，并比较它们模的大小．[思路探究](1)设出复数z的虚部，由模的公式建立方程求解．(2)用求模的公式直接计算．(1)[解析]设复数z的虚部为b，∵|z|＝2，实部为1，∴1＋b2＝4，∴b＝±3，选D.[答案]D(2)解：因为z1＝6＋8i，z2＝－12－2i，所以|z1|＝62＋82＝10，|z2|＝－122＋－22＝32.因为1032，所以|z1||z2|.1．计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，再利用复数模的公式进行计算．2．两个复数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．-5-2．(1)复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．(2)已知复数z＝3＋ai，且|z|4，求实数a的取值范围．(1)[解析]∵|z|＝3，∴x＋12＋y－22＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．[答案]以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆(2)解：∵z＝3＋ai(a∈R)，|z|＝32＋a2，由已知得32＋a24，∴a27，∴a∈(－7，7).1．复数z＝－1＋2019i(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由－1＜0,2019＞0得复数z＝－1＋2019i(i是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限．[答案]B2．已知复数z＝2－3i，则复数的模|z|是()A．5B．8C．6D.11[解析]|z|＝22＋－32＝11.[答案]D3．复数z＝x－2＋(3－x)i在复平面内的对应点在第四象限，则实数x的取值范围是________．[解析]∵复数z在复平面内对应的点在第四象限，∴x－2＞0，3－x＜0，解得x＞3.[答案](3，＋∞)4．已知复数z＝x－2＋yi(x，y∈R)的模是22，则点(x，y)的轨迹方程是________．[解析]∵|z|＝22，-6-∴x－22＋y2＝22，∴(x－2)2＋y2＝8.[答案](x－2)2＋y2＝85．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.[解]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝a2＋b2，代入方程得，a＋bi＋a2＋b2＝2＋8i，∴a＋a2＋b2＝2，b＝8，解得a＝－15，b＝8，∴z＝－15＋8i.