2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数章末复习课讲义 苏教版必修4

-1-第1章三角函数任意角的三角函数概念(1)已知角α的终边过点P(－4m,3m)(m≠0)，则2sinα＋cosα的值是________．(2)函数y＝sinx＋2cosx－1的定义域是________．思路点拨：(1)根据三角函数的定义求解，注意讨论m的正负．(2)利用三角函数线求解．(1)25或－25(2)x2kπ≤x≤2kπ＋π3，k∈Z[(1)r＝|OP|＝－4m2＋3m2＝5|m|.当m0时，sinα＝yr＝3m5m＝35，cosα＝xr＝－4m5m＝－45，∴2sinα＋cosα＝25.当m0时，sinα＝yr＝3m－5m＝－35，cosα＝xr＝－4m－5m＝45，∴2sinα＋cosα＝－25.故2sinα＋cosα的值是25或－25.(2)由sinx≥0，2cosx－1≥0，得sinx≥0，cosx≥12，-2-如图，结合三角函数线知：2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3k∈Z，解得2kπ≤x≤2kπ＋π3(k∈Z)，∴函数的定义域为x2kπ≤x≤2kπ＋π3，k∈Z.]三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面：1任意角和弧度制.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.2任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域.1．(1)已知角α的顶点在原点，始边为x轴的非负半轴．若角α的终边经过点P(－3，y)，且sinα＝34y(y≠0)，判断角α所在的象限，并求cosα和tanα的值；(2)若角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋3cosα的值．[解](1)依题意，点P到原点O的距离为|PO|＝－32＋y2，∴sinα＝yr＝y3＋y2＝34y.∵y≠0，∴9＋3y2＝16，∴y2＝73，∴y＝±213.∴点P在第二或第三象限．当点P在第二象限时，y＝213，cosα＝xr＝－34，tanα＝－73.-3-当点P在第三象限时，y＝－213，cosα＝xr＝－34，tanα＝73.(2)设角α终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则r＝x2＋y2＝k2＋－3k2＝10|k|.当k0时，r＝10k.∴sinα＝－3k10k＝－310，1cosα＝10kk＝10.∴10sinα＋3cosα＝－310＋310＝0.当k0时，r＝－10k.∴sinα＝－3k－10k＝310，1cosα＝－10kk＝－10.∴10sinα＋3cosα＝310－310＝0.综上，10sinα＋3cosα＝0.同角三角函数的基本关系与诱导公式已知关于x的方程2x2－(3＋1)x＋m＝0的两根为sinθ，cosθ，θ∈(0,2π)．求：(1)cos23π2－θcosπ2－θ＋cos－π－θ＋sinπ2＋θ1＋tanπ－θ；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．思路点拨：先利用根与系数的关系得到sinθ＋cosθ与sinθcosθ，再利用诱导公式和三角函数的基本关系式求解．[解]由根与系数的关系，得sinθ＋cosθ＝3＋12，sinθcosθ＝m2.(1)原式＝sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－tanθ＝sin2θsinθ－cosθ＋cosθ1－sinθcosθ＝sin2θsinθ－cosθ－cos2θsinθ－cosθ＝sinθ＋-4-cosθ＝3＋12.(2)由sinθ＋cosθ＝3＋12，两边平方可得1＋2sinθcosθ＝4＋234，1＋2×m2＝1＋32，m＝32.(3)由m＝32可解方程2x2－(3＋1)x＋32＝0，得两根12和32.∴sinθ＝12，cosθ＝32或sinθ＝32，cosθ＝12.∵θ∈(0,2π)，∴θ＝π6或π3.同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据，主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧：1化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时，往往把三角函数化为弦，再化简变形.2化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时，有时可将三角函数名称都化为正切，再化简变形.3“1”的代换：在三角函数式中，有些会含有常数1，常数1虽然非常简单，但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.2．已知f(α)＝sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋αsin－π＋α·tan－α＋3π.(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝18，且π4απ2，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－47π4，求f(α)的值．[解](1)f(α)＝sin2α·cosα·tanα－sinα－tanα＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinα·cosα＝18可知，(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α＝1－2sinα·cosα＝1－2×18＝34.-5-又∵π4απ2，∴cosαsinα，即cosα－sinα0，∴cosα－sinα＝－32.(3)∵α＝－47π4＝－6×2π＋π4，∴f－47π4＝cos－47π4·sin－47π4＝cos－6×2π＋π4·sin－6×2π＋π4＝cosπ4·sinπ4＝22×22＝12.三角函数的图象与性质已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1ω0，A0,0φπ2的周期为π，fπ4＝3＋1，且f(x)的最大值为3.(1)写出f(x)的表达式；(2)写出函数f(x)的对称中心，对称轴方程及单调区间；(3)求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．思路点拨：(1)由T＝2πω求ω，由f(x)的最大值为3求A，由fπ4＝3＋1，求φ.(2)把ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sinx的单调区间与对称性求解．(3)由x∈0，π2求出ωx＋φ的范围，利用单调性求最值．[解](1)∵T＝π，∴ω＝2πT＝2.∵f(x)的最大值为3，∴A＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1.∵fπ4＝3＋1，∴2sinπ2＋φ＋1＝3＋1，∴cosφ＝32.∵0φπ2，-6-∴φ＝π6.∴f(x)＝2sin2x＋π6＋1.(2)由f(x)＝2sin2x＋π6＋1，令2x＋π6＝kπ，得x＝kπ2－π12(k∈Z)，∴对称中心为kπ2－π12，1(k∈Z)．由2x＋π6＝kπ＋π2，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，∴对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2，得kπ－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)，∴f(x)的单调增区间为kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)．由2kπ＋π2≤2x＋π6≤2kπ＋3π2，得kπ＋π6≤x≤kπ＋2π3(k∈Z)，∴f(x)的单调减区间为kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)．(3)当0≤x≤π2时，π6≤2x＋π6≤7π6，∴－12≤sin2x＋π6≤1，∴f(x)在0，π2上的最大值为3，最小值为0.三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.具体要求：1用“五点法”作y＝Asinωx＋φ的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π.2对于y＝Asinωx＋φ的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.3已知函数图象求函数y＝Asinωx＋φA＞0，ω＞0的解析式时，常用的解题方法是-7-待定系数法.3．函数f(x)＝cos(πx＋φ)0φπ2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x0的值；(2)设g(x)＝f(x)＋fx＋13，求函数g(x)在区间－12，13上的最大值和最小值．[解](1)由题图得f(0)＝32，所以cosφ＝32，因为0φπ2，故φ＝π6.由于f(x)的最小正周期等于2，所以由题图可知1x02.故7π6πx0＋π613π6，由f(x0)＝32得cosπx0＋π6＝32，所以πx0＋π6＝11π6，x0＝53.(2)因为fx＋13＝cosπx＋13＋π6＝cosπx＋π2＝－sinπx，所以g(x)＝f(x)＋fx＋13＝cosπx＋π6－sinπx＝cosπxcosπ6－sinπxsinπ6－sinπx＝32cosπx－12sinπx－sinπx＝32cosπx－32sinπx＝3sinπ6－πx.当x∈－12，13时，－π6≤π6－πx≤2π3.所以－12≤sinπ6－πx≤1，故π6－πx＝π2，即x＝－13时，g(x)取得最大值3；当π6－πx＝－π6，即x＝13时，g(x)取得最小值－32.数形结合思想【例4】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的简图如图所示，求函数g(x)＝f(x)－lgx零点的个数．-8-思路点拨：识图→求A，ω，φ→画出fx及y＝lgx的图象→下结论[解]显然A＝2.由图象过(0,1)点，则f(0)＝1，即sinφ＝12，又|φ|＜π2，则φ＝π6.又11π12，0是图象上的点，则f11π12＝0，即sin11π12ω＋π6＝0，由图象可知，11π12，0是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点．∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2，因此所求函数的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.在同一坐标系中作函数y＝2sin2x＋π6和函数y＝lgx的示意图如图所示：∵f(x)的最大值为2，令lgx＝2，得x＝100，令1112π＋kπ＜100(k∈Z)，得k≤30(k∈Z)，而1112π＋31π＞100，∴在区间(0,100]内有31个形如1112π＋kπ，1712π＋kπ(k∈Z,0≤k≤30)的区间，在每个区间上y＝f(x)与y＝lgx的图象都有2个交点，故这两个函数图象在11π12，100上有2×31＝62个交点，另外在0，1112π上还有1个交点，∴方程f(x)－lgx＝0共有实根63个，∴函数g(x)＝f(x)－lgx共有63个零点．数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中.本章中，常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题，是典型的“以形助数”的方法，而利用三角公式证明三角函数中的几何性质问题，又是典型的“以数助形”的解题策略.-9-4．若集合M＝θsinθ≥12，0≤θ≤π，N＝θcosθ≤12，0≤θ≤π，求M∩N.[解]首先作出正弦函数与余弦函数以及直线y＝12的图象，如图①②.结合图象得集合M，N分别为：M＝θπ6≤θ≤5π6，N＝θπ3≤θ≤π.得M∩N＝θπ3≤θ≤56π.