2019-2020学年高中数学 模块复习课讲义 苏教版必修4

-1-模块复习课一、三角函数1．任意角三角函数的定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：(1)y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin_α＝y；(2)x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos_α＝x；(3)yx叫做α的正切，记作tan_α，即tanα＝yx(x≠0)．2．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝sinαcosαα≠kπ＋π2，k∈Z.3．诱导公式六组诱导公式可以统一概括为“k·π2±α(k∈Z)”的诱导公式．当k为偶数时，函数名不改变；当k为奇数时，函数名改变，然后前面加一个把α视为锐角时原函数值的符号．记忆口诀为“奇变偶不变，符号看象限”．4．正弦函数、余弦函数和正切函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR{x|x∈R且x≠kπ＋π2，}k∈Z值域[－1,1][－1,1]R-2-对称性对称轴：x＝kπ＋π2(k∈Z)；对称中心：(kπ，0)(k∈Z)对称轴：x＝kπ(k∈Z)；对称中心：kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心：kπ2，0(k∈Z)，无对称轴奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期：2π最小正周期：2π最小正周期：π单调性在－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是单调增函数；在π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是单调减函数在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上是单调增函数；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上是单调减函数在开区间(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)上是单调增函数最值在x＝π2＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1在x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；在x＝π＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1无最值二、平面向量1．向量的运算：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．向量运算法则(或几何意义)坐标运算向量的线性运算加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)三角形法则平行四边形法则减法a－b＝(x1－x2，y1－y2)-3-减法法则数乘(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λa＝(λx1，λy1)向量的数量积运算a·b＝|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角)规定0·a＝0，数量积的几何意义是a的模与b在a方向上的投影的积a·b＝x1x2＋y1y22.两个定理(1)平面向量基本定理①定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.②基底：把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．(2)向量共线定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.3．向量的平行与垂直a，b为非零向量，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b有唯一实数λ使得b＝λax1y2－x2y1＝0a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝04.平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝a·a＝x2＋y2.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.5．向量的投影向量a在b方向上的投影为|a|cosθ＝a·b|b|.6．向量的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c.-4-(4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β.sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β.tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ.tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.2．二倍角公式sin2α＝2sin_αcos_α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝2tanα1－tan2α.3．升幂公式1＋cos2α＝2cos2α.1－cos2α＝2sin2α.4．降幂公式cos2x＝1＋cos2x2，sin2x＝1－cos2x2.5．和差角正切公式变形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．6．辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中φ为辅助角，tanφ＝ba)(或asinx＋bcosx＝a2＋b2cos(x－φ)，tanφ＝ab)．1．终边与始边重合的角是零角．(×)[提示]终边与始边重合的角是360°的整数倍．2．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关．(×)[提示]与圆的半径长短无关．3．角α是三角形的内角，则必有sinα＞0，cosα≥0.(×)-5-[提示]当α是钝角时cosα＜0.4．同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．(√)5．对任意角α，sinαcosα＝tanα都成立．(×)[提示]只有cosα≠0时才成立．6．诱导公式中的角α一定是锐角．(×)[提示]只要角α使代数式有意义即可，不一定是锐角．7．在△ABC中，sin(A＋B)＝sinC．(√)8．函数y＝sinx的图象向右平移π2个单位得到函数y＝cosx的图象．(×)[提示]应为向左平移π2个单位．9．函数y＝cosx的图象关于x轴对称．(×)[提示]关于y轴对称，所有对称轴可表示为x＝kπ(k∈Z)．10．若sinπ4＋π2＝sinπ4，则π2是正弦函数y＝sinx的一个周期．(×)[提示]若T是一个函数的周期，对任意的x必有f(x＋T)＝f(x)成立．如sinπ3＋π2≠sinπ3，故π2不是y＝sinx的周期．11．函数y＝sinx，x∈(－π，π]是奇函数．(×)[提示]函数若具备奇偶性首先要满足定义域关于原点对称．12．正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．(×)[提示]正弦函数、余弦函数有单调区间，但在定义域内单调性不一致，不是单调函数．13．正切函数的定义域和值域都是R.(×)[提示]正切函数的值域是R，定义域为{x|x≠π2＋kπ(k∈Z)}．14．把函数y＝cosx图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos3x的图象．(×)[提示]应得到y＝cos13x的图象．15．函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.(×)[提示]最大值应为|A|.16．向量AB→与向量BA→是相等向量．(×)[提示]AB→与BA→大小相等，方向相反，是相反向量．-6-17．任意两个向量的和仍然是一个向量．(√)18．两个相等向量之差等于0.(√)19．实数λ与向量a的积还是向量．(√)20．若ma＝mb，则a＝b.(×)[提示]m＝0时，a＝b不成立．21．任意两个向量都可以作为基底．(×)[提示]不共线的两个向量才可以作为基底．22．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)23．已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.(√)24．两个向量的数量积仍然是向量．(×)[提示]两个向量的数量积是数．25．|AB→|的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．(√)26．若△ABC为直角三角形，则有AB→·BC→＝0.(×)[提示]只有∠B＝90°时，AB→·BC→＝0成立．27．对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．(√)28．存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．(√)29．tanπ2＋π4能用公式tan(α＋β)展开．(×)[提示]展开式中有tanπ2，此式无意义．30．若α是第一象限角，则tanα2＝1－cosα1＋cosα.(√)1．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB→＝()A.34AB→－14AC→B.14AB→－34AC→C.34AB→＋14AC→D.14AB→＋34AC→A[法一：如图所示，EB→＝ED→＋DB→＝12AD→＋12CB→＝12×12(AB→＋AC→)＋12(AB→－AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.-7-法二：EB→＝AB→－AE→＝AB→－12AD→＝AB→－12×12(AB→＋AC→)＝34AB→－14AC→，故选A.]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝()A．4B．3C．2D．0B[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.]3．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．[答案]－44．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tanα＝43，tanα＝sinαcosα，所以sinα＝43cosα.因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝925，因此，cos2α＝2cos2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝43，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－247.因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan2α－tanα＋β1＋tan2αtanα＋β＝－211.5．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它-8-的终边过点P－35，－45.(1)求sin(α＋π)的值；(2)若角β满足sin(α＋β)＝513，求cosβ的值．[解](1)由角α的终边过点P－35，－45，得sinα＝－45.所以sin(α＋π)＝－sinα＝45.(2)由角α的终边过点P－35，－45，得cosα＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，所以cosβ＝－5665或cosβ＝1665.