2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.1.3 两角和与差的正切讲义 苏教版必修4

-1-3.1.3两角和与差的正切学习目标核心素养(教师独具)1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点)2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明．(重点)3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点)通过学习本节内容，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.两角和与差的正切公式T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ.T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ.思考：公式Tα±β有何结构特征和符号规律？[提示](1)结构特征：公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号规律：分子同，分母反．1．tan15°＝________；tan75°＝________.2－32＋3[tan15°＝tan(45°－30°)＝tan45°－tan30°1＋tan45°tan30°＝1－331＋33＝3－33＋3＝2－3.tan75°＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°-2-＝1＋331－33＝2＋3.]2．设α，β为锐角，且tanα，tanβ是方程6x2－5x＋1＝0的根，则tan(α＋β)＝________.1[tanα＋tanβ＝56，tanα·tanβ＝16.tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanα·tanβ＝1.]3.1－tan15°1＋tan15°＝________.33[原式＝tan45°－tan15°1＋tan45°tan15°＝tan(45°－15°)＝tan30°＝33.]条件求值问题【例1】已知tan(α＋β)＝5，tan(α－β)＝3，求tan2α，tan2β，tan2α＋π4.思路点拨：2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，tan2α＋π4可以用tan2α表示出来．[解]tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tanα＋β＋tanα－β1－tanα＋βtanα－β＝5＋31－5×3＝－47，tan2β＝tan[(α＋β)－(α－β)]＝tanα＋β－tanα－β1＋tanα＋βtanα－β＝5－31＋5×3＝18，tan2α＋π4＝1＋tan2α1－tan2α＝1－471＋47-3-＝311.求解此类问题的关键是明确已知角和待求角的关系；求解时要充分借助诱导公式、角的变换技巧等实现求值.倘若盲目套用公式，可能带来运算的繁杂.1．已知tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，求tanα＋π4.[解]tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝tanα＋β－tanβ－π41＋tanα＋βtanβ－π4＝25－141＋25×14＝322.给值求角【例2】已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且α，β∈－π2，π2，求α＋β.思路点拨：利用根与系数的关系求tanα＋tanβ及tanαtanβ的值，进而求出tan(α＋β)的值，然后由α＋β的取值范围确定α＋β的值．[解]因为tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，所以tanα＋tanβ＝－33＜0，tanαtanβ＝4＞0，所以tanα＜0，tanβ＜0.又因为α，β∈－π2，π2，所以α，β∈－π2，0，所以－π＜α＋β＜0.又因为tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3.1．给值求角的一般步骤：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角的范围；-4-(3)根据角的范围写出所求的角．2．选取函数时，应遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦较好．2．已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________.－3π4[由于tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13，所以α∈0，π4，又tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝12＋131－12×13＝1，而β∈π2，π，所以2α－β∈(－π，0)，故2α－β＝－3π4.]T(α±β)公式的变形及应用[探究问题]1．你能结合T(α±β)的公式完成下列空格吗？(1)T(α＋β)的变形：tanα＋tanβ＝_________________________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝________.tanαtanβ＝____________________________________.(2)T(α－β)的变形：tanα－tanβ＝__________________________________.tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝________.-5-tanαtanβ＝____________________________________.提示：(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝tan(α＋β)tanαtanβ＝1－tanα＋tanβtanα＋β(2)tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝tan(α－β)tanαtanβ＝tanα－tanβtanα－β－12．结合T(α±β)公式想一想下列式子如何化简？(1)1－tanα1＋tanα＝________；(2)3＋tanα1－3tanα＝________.提示：(1)1－tanα1＋tanα＝tanπ4－tanα1＋tanπ4tanα＝tanπ4－α(2)3＋tanα1－3tanα＝tanπ3＋tanα1－tanπ3tanα＝tanπ3＋α【例3】已知△ABC中，tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，且3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，试判断△ABC的形状．思路点拨：充分结合T(α±β)的公式及变形求解．[解]∵3tanA＋3tanB＝tanAtanB－1，∴3(tanA＋tanB)＝tanAtanB－1，∴tanA＋tanB1－tanAtanB＝－33，∴tan(A＋B)＝－33.又∵0＜A＋B＜π，∴A＋B＝5π6，∴C＝π6，∵tanB＋tanC＋3tanBtanC＝3，tanC＝33，∴tanB＋33＋tanB＝3，tanB＝33，-6-∴B＝π6，∴A＝2π3，∴△ABC为等腰三角形．1．公式T(α＋β)，T(α－β)是变形较多的两个公式，公式中有tanα·tanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ)，tan(α＋β)(或tan(α－β))．三者知二可表示或求出第三个．2．一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和或差的正切公式．3．(1)化简：tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，求α＋β的值．[解](1)tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋3tan23°tan37°＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋3tan23°tan37°＝3.(2)∵(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝1＋3(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，∴tanα＋tanβ＝3(1－tanαtanβ)，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3.又∵α，β均为锐角，∴0°α＋β180°，∴α＋β＝60°.教师独具1．本节课的重点是两角和与差的正切公式，难点是公式的灵活运用．2．要掌握两角和与差的正切公式的三个应用(1)解决给角求值问题．(2)解决给值(式)求角问题．(3)解决条件求值问题．3．本节课的易错点是，解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误．1.tan51°－tan6°1＋tan51°tan6°＝()A．tan57°B．－tan57°C．1D．－1-7-C[原式＝tan(51°－6°)＝tan45°＝1.]2．若tanα＝17，tan(α－β)＝－1，则tanβ＝________.43[tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanαtanα－β＝17＋11－17＝43.]3．不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝________.1[tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.]4．已知A，B，C为锐角三角形ABC的内角．求证：tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.[证明]∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C.∴tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB＝－tanC.∴tanA＋tanB＝－tanC＋tanAtanBtanC.即tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC.