2019-2020学年高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.2.2 空间线面关系的判定讲义 苏教

-1-3.2.2空间线面关系的判定学习目标核心素养1.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系，能用向量方法证明有关直线、平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(重点)2.能用向量方法判定空间线面的平行和垂直关系．(重点、难点)3.向量法证明线面平行．(易错点)1.通过线面位置关系的判断与证明，培养逻辑推理素养．2.借助方向向量、法向量的应用，提升数学运算素养.向量法判定线面关系设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1，n2，则有下表：平行垂直l1与l2e1∥e2e1⊥e2l1与α1e1⊥n1e1∥n1α1与α2n1∥n2n1⊥n2思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面是否垂直？[提示]垂直1．若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交B[∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，∴n∥a，∴l⊥α.]2．已知不重合的平面α，β的法向量分别为n1＝12，3，－1，n2＝－16，－1，13，则平面α与β的位置关系是________．平行[∵n1＝－3n2，∴n1∥n2，故α∥β.]3．设直线l1的方向向量为a＝(3,1，－2)，l2的方向向量为b＝(－1,3,0)，则直线l1与-2-l2的位置关系是________．垂直[∵a·b＝(3,1，－2)·(－1,3,0)＝－3＋3＋0＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.]4．若直线l的方向向量为a＝(－1,2,3)，平面α的法向量为n＝(2，－4，－6)，则直线l与平面α的位置关系是________．垂直[∵n＝－2a，∴n∥a，又n是平面α的法向量，所以l⊥α.]利用空间向量证明线线平行【例1】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．[证明]以点D为坐标原点，分别以DA→，DC→，DD1→为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E0，0，12，C1(0,1,1)，F1，1，12，∴AE→＝－1，0，12，FC1→＝－1，0，12，EC1→＝0，1，12，AF→＝0，1，12，∵AE→＝FC1→，EC1→＝AF→，∴AE→∥FC1→，EC1→∥AF→，又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形．1．两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面．2．直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．3．两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．1．长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求证：EF∥AC1.[证明]如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y-3-轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：A(a，0,0)，C1(0，b，c)，E23a，23b，c，Fa，b3，23c.∴FE→＝－a3，b3，c3，AC1→＝(－a，b，c)，∴FE→＝13AC1→.又FE与AC1不共线，∴直线EF∥AC1.利用空间向量证明线面、面面平行[探究问题]在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处理？提示：可设几何体的棱长为1或a，再求点的坐标．【例2】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.[思路探究][证明]法一：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M0，1，12，N12，1，1，于是DA1→＝(1,0,1)，DB→＝(1,1,0)，MN→＝12，0，12.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则n⊥DA1→，n⊥DB→，即n·DA1→＝x＋z＝0，n·DB→＝x＋y＝0，取x＝1，则y＝－1，z＝－1，∴平面A1BD的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．又MN→·n＝12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN→⊥n.∴MN∥平面A1BD.法二：MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12(D1A1→－D1D→)＝12DA1→，∴MN→∥DA1→，∴MN∥平面A1BD.-4-法三：MN→＝C1N→－C1M→＝12C1B1→－12C1C→＝12DA→－12A1A→＝12()DB→＋BA→－12()A1B→＋BA→＝12DB→－12A1B→.即MN→可用A1B→与DB→线性表示，故MN→与A1B→，DB→是共面向量，故MN∥平面A1BD.1．本例中条件不变，试证明平面A1BD∥平面CB1D1.[证明]由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，则CD1→＝(0，－1,1)，D1B1→＝(1,1,0)，设平面CB1D1的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则m⊥CD1→m⊥D1B1→z＝0，令z＝－2，则y＝1，x＝1，∴n1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量为n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD.