2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.4 对数函数（第1课时）对数函

-1-第1课时对数函数的概念、图象及性质学习目标核心素养1.理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．(重点、难点)2．能画出具体对数函数的图象，并能根据对数函数的图象说明对数函数的性质．(重点)1.通过学习对数函数的图象，培养直观想象素养．2．借助对数函数的定义域的求解，培养数学运算的素养.1．对数函数的概念函数y＝logax(a0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．思考1：函数y＝2log3x，y＝log3(2x)是对数函数吗？提示：不是，其不符合对数函数的形式．2．对数函数的图象及性质a的范围0a1a1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数思考2：对数函数的“上升”或“下降”与谁有关？提示：底数a与1的关系决定了对数函数的升降．当a1时，对数函数的图象“上升”；当0a1时，对数函数的图象“下降”．3．反函数指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0且a≠1)互为反函数．-2-1．函数y＝logax的图象如图所示，则实数a的可能取值为()A．5B.15C.1eD.12A[由图可知，a1，故选A.]2．若对数函数过点(4,2)，则其解析式为________．f(x)＝log2x[设对数函数的解析式为f(x)＝logax(a0且a≠1)．由f(4)＝2得loga4＝2，∴a＝2，即f(x)＝log2x.]3．函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为________．(－1，＋∞)[由x＋10得x－1，故f(x)的定义域为(－1，＋∞)．]对数函数的概念及应用【例1】(1)下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a0，且a≠1)；③y＝log(3－1)x；④y＝13log3x；⑤y＝logx3(x0，且x≠1)；⑥y＝log2πx.其中是对数函数的为()A．③④⑤B．②④⑥C．①③⑤⑥D．③⑥(2)若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________.(3)已知对数函数的图象过点(16,4)，则f12＝__________.(1)D(2)4(3)－1[(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D.(2)因为函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，所以2a－10，2a－1≠1，a2－5a＋4＝0，解得a＝4.(3)设对数函数为f(x)＝logax(a0且a≠1)，-3-由f(16)＝4可知loga16＝4，∴a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f12＝log212＝－1.]判断一个函数是对数函数的方法1．若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.2[由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.又a0且a≠1，所以a＝2.]对数函数的定义域【例2】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝1log12x＋1；(2)f(x)＝12－x＋ln(x＋1)；(3)f(x)＝log(2x－1)(－4x＋8)．[解](1)要使函数f(x)有意义，则log12x＋10，即log12x－1，解得0x2，即函数f(x)的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足x＋10，2－x0，即x－1，x2，解得－1x2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得－4x＋80，2x－10，2x－1≠1，解得x2，x12，x≠1.故函数y＝log(2x－1)(－4x＋8)的定义-4-域为x12x2，且x≠1.求对数型函数的定义域时应遵循的原则1分母不能为0.2根指数为偶数时，被开方数非负.3对数的真数大于0，底数大于0且不为1.提醒：定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求与对数函数有关的定义域问题时，要注意对数函数的概念，若自变量在真数上，则必须保证真数大于0；若自变量在底数上，应保证底数大于0且不等于1.2．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝lg(x－2)＋1x－3；(2)f(x)＝log(x＋1)(16－4x)．[解](1)要使函数有意义，需满足x－20，x－3≠0，解得x2且x≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．(2)要使函数有意义，需满足16－4x0，x＋10，x＋1≠1，解得－1x0或0x4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．对数函数的图象问题[探究问题]1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝loga1x，y＝loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？提示：作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4a31a2a10.2．函数y＝ax与y＝logax(a0且a≠1)的图象有何特点？提示：两函数的图象关于直线y＝x对称．-5-【例3】(1)当a1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为()ABCD(2)已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．[思路点拨](1)结合a1时y＝a－x＝1ax及y＝logax的图象求解．(2)由f(－5)＝1求得a，然后借助函数的奇偶性作图．(1)C[∵a1，∴01a1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.](2)[解]∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．1．把本例(1)的条件“a1”去掉，函数“y＝logax”改为“y＝loga(－x)”，则函数y＝a－x与y＝loga(－x)的图象可能是()C[∵在y＝loga(－x)中，－x＞0，∴x＜0，∴图象只能在y轴的左侧，故排除A，D；当a＞1时，y＝loga(－x)是减函数，y＝a－x＝1ax是减函数，故排除B；当0＜a＜1时，y＝loga(－x)是增函数，y＝a－x＝1ax是增函数，∴C满足条件，故选C.]2．把本例(2)改为f(x)＝||log2x＋1＋2，试作出其图象．[解]第一步：作y＝log2x的图象，如图(1)所示．-6-(1)(2)第二步：将y＝log2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝log2(x＋1)的图象，如图(2)所示．第三步：将y＝log2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|log2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．第四步：将y＝|log2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．(3)(4)函数图象的变换规律1一般地，函数y＝fx±a＋ba，b为实数的图象是由函数y＝fx的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.2含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f|x－a|的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|fx|的图象与y＝fx的图象在fx≥0的部分相同，在fx0的部分关于x轴对称.1．判断一个函数是不是对数函数关键是分析所给函数是否具有y＝logax(a0且a≠1)这种形式．2．在对数函数y＝logax中，底数a对其图象直接产生影响，学会以分类的观点认识和掌握对数函数的图象和性质．3．涉及对数函数定义域的问题，常从真数和底数两个角度分析.1．思考辨析(1)对数函数的定义域为R.()(2)函数y＝loga(x＋2)恒过定点(－1,0)．()-7-(3)对数函数的图象一定在y轴右侧．()(4)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．下列函数是对数函数的是()A．y＝2＋log3xB．y＝loga(2a)(a0，且a≠1)C．y＝logax2(a0，且a≠1)D．y＝lnxD[结合对数函数的形式y＝logax(a0且a≠1)可知D正确．]3．函数f(x)＝lgx＋lg(5－3x)的定义域是()A.0，53B.0，53C.1，53D.1，53C[由lgx≥0，5－3x0，得x≥1，x53，即1≤x53.]4．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)f(2)，利用图象求a的取值范围．[解](1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图象知：当0a2时，恒有f(a)f(2)．所以所求a的取值范围为0a2.-8-