2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ）1.3.1 正弦函数的图象与性质 第1课时

-1-第1课时正弦函数的图象与性质学习目标核心素养1．能正确使用“五点法”“几何法”作出正弦函数的图象．(难点)2．理解正弦函数的性质，会求正弦函数的最小正周期、奇偶性、单调区间及最值．(重点)1.通过正弦函数图象和性质的学习，培养学生的直观想象核心素养．2．借助正弦函数图象和性质的应用，培养学生的直观想象、逻辑推理及数学运算核心素养.1．正弦函数的图象(1)利用正弦线可以作出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象，要想得到y＝sinx(x∈R)的图象，只需将y＝sinx，x∈[0,2π]的图象沿x轴平移±2π，±4π，…即可，此时的图象叫做正弦曲线．(2)“五点法”作y＝sinx，x∈[0,2π]的图象时，所取的五点分别是(0,0)，π2，1，(π，0)，32π，－1和(2π，0)．2．正弦函数的性质(1)函数的周期性①周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期．(2)正弦函数的性质函数y＝sinx定义域(－∞，＋∞)值域[－1,1]奇偶性奇函数周期性最小正周期：2π单调性在2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上递增；-2-在2kπ＋π2，2kπ＋32π(k∈Z)上递减最值x＝2kπ＋π2，(k∈Z)时，y最大值＝1；x＝2kπ－π2(k∈Z)时，y最小值＝－1思考：观察正弦函数的图象是否具有对称性，它的对称性是怎样的？[提示]由图(图略)可以看出，正弦函数的图象关于原点成中心对称，除了原点这个对称点外，对于正弦函数图象，点(π，0)，点(2π，0)…，点(kπ，0)也是它的对称中心，由此正弦函数图象有无数个对称中心，且为(kπ，0)(k∈Z)，即图象与x轴的交点，正弦函数的图象还具有轴对称性，对称轴是x＝kπ＋π2，(k∈Z)，是过图象的最高或最低点，且与x轴垂直的直线．1．函数y＝xsinx是()A．奇函数，不是偶函数B．偶函数，不是奇函数C．奇函数，也是偶函数D．非奇非偶函数B[f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sinx)＝xsinx＝f(x)，∴y＝xsinx为偶函数，不是奇函数．]2．下列图象中，符合y＝－sinx在[0,2π]上的图象的是()D[把y＝sinx，x∈[0,2π]上的图象关于x轴对称，即可得到y＝－sinx，x∈[0,2π]上的图象，故选D.]3．点Mπ2，－m在函数y＝sinx的图象上，则m等于()A．0B．1C．－1D．2C[由题意－m＝sinπ2，∴－m＝1，∴m＝－1.]-3-正弦函数的图象【例1】用五点法作出函数y＝1－2sinx，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间．①y1；②y1.(2)若直线y＝a与y＝1－2sinx有两个交点，求a的取值范围；(3)求函数y＝1－2sinx的最大值，最小值及相应的自变量的值．[解]按五个关键点列表x－π－π20π2πsinx0－10101－2sinx131－11描点连线得：(1)由图象可知图象在y＝1上方部分y1，在y＝1下方部分y1，∴当x∈(－π，0)时，y1，当x∈(0，π)时，y1.(2)如图，当直线y＝a与y＝1－2sinx有两个交点时，1a3或－1a1，∴a的取值范围是{a|1a3或－1a1}．(3)由图象可知ymax＝3，此时x＝－π2；ymin＝－1，此时x＝π2.1．解答本题的关键是要抓住五个关键点，使函数中x取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y值，作出图象．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．3．仔细观察图象，找出函数图象y＝1与y＝a的交点及最大值，最小值点正确解答问题．1．用“五点法”画出函数y＝12＋sinx，x∈[0,2π]上的图象．-4-[解]取值列表如下：x0π2π3π22πsinx010－1012＋sinx123212－1212描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)正弦函数的单调性及应用【例2】比较下列各组数的大小．(1)sin194°和cos160°；(2)sin74和cos53；(3)sinsin3π8和sincos3π8.[思路探究]先化为同一单调区间上的同名函数，然后利用单调性来比较函数值的大小．[解](1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°.cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°14°70°90°，∴sin14°sin70°.从而－sin14°－sin70°，即sin194°cos160°.(2)∵cos53＝sinπ2＋53，又π274ππ2＋5332π，y＝sinx在π2，32π上是减函数，∴sin74sinπ2＋53＝cos53，-5-即sin74cos53.(3)∵cos3π8＝sinπ8，∴0cos3π8sin3π81π2.而y＝sinx在0，π2内递增，∴sincos3π8sinsin3π8.1．求正弦函数的单调区间和最值时要联系正弦函数的图象，同时注意三角函数的周期性．2．比较三角函数值的大小时，需要把角化为同一单调区间上的同名三角函数，然后用三角函数的单调性即可，如果角不在同一单调区间上，一般用诱导公式进行转化，然后再比较．2．比较大小：(1)sin250°与sin260°；(2)sin－235π与sin－174π.[解](1)sin250°＝sin(180°＋70°)＝－sin70°，sin260°＝sin(180°＋80°)＝－sin80°，因为0°＜70°＜80°＜90°，且函数y＝sinx，x∈0，π2是增函数，所以sin70°＜sin80°，所以－sin70°＞－sin80°，即sin250°＞sin260°.(2)sin－23π5＝－sin23π5＝－sin3π5＝－sinπ－2π5＝－sin2π5，sin－17π4＝－sin17π4＝－sinπ4.因为0＜π4＜2π5＜π2，且函数y＝sinx，x∈0，π2是增函数，所以sinπ4＜sin2π5，－sinπ4－sin2π5，-6-即sin－23π5＜sin－17π4.正弦函数的值域与最值问题[探究问题]1．函数y＝sinx＋π4在x∈[0，π]上最小值能否为－1?[提示]不能．因为x∈[0，π]，所以x＋π4∈π4，5π4，由正弦函数图象可知函数的最小值为－22.2．函数y＝Asinx＋b，x∈R的最大值一定是A＋b吗？[提示]不是．因为A0时最大值为A＋b，若A0时最大值应为－A＋b.【例3】求下列函数的值域．(1)y＝3＋2sin2x－π3；(2)y＝1－2sin2x＋sinx.[思路探究](1)用|sinα|≤1构建关于y的不等式，从而求得y的取值范围．(2)用t代替sinx，然后写出关于t的函数，再利用二次函数的性质及|t|≤1即可求出y的取值范围．[解](1)∵－1≤sin2x－π3≤1，∴－2≤2sin2x－π3≤2，∴1≤2sin2x－π3＋3≤5，∴1≤y≤5，即函数y＝3＋2sin2x－π3的值域为[1,5]．(2)y＝1－2sin2x＋sinx，令sinx＝t，则－1≤t≤1，y＝－2t2＋t＋1＝－2t－142＋98.由二次函数y＝－2t2＋t＋1的图象可知－2≤y≤98，即函数y＝1－2sin2x＋sinx的值域为－2，98.1．换元法，旨在三角问题代数化，要防止破坏等价性．-7-2．转化成同一函数，要注意不要一见sinx就有－1≤sinx≤1，要根据x的范围确定．3．设|x|≤π4，求函数f(x)＝cos2x＋sinx的最小值．[解]f(x)＝cos2x＋sinx＝1－sin2x＋sinx＝－sinx－122＋54.∵|x|≤π4，∴－22≤sinx≤22，∴当sinx＝－22时取最小值为1－22.(教师用书独具)1．“几何法”和“五点法”画正弦函数图象的优缺点(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线作出弦函数图象的方法．该方法作图较精确，但较为繁琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法．2．正弦函数周期性的释疑由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期为2π.3．正弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点O对称．(2)正弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．4．正弦函数单调性的说明(1)正弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．(2)求解(或判断)正弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．(3)确定含有正弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．5．正弦函数最值的释疑(1)明确正弦函数的有界性，即|sinx|≤1.(2)对有些正弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．-8-1．以下对于正弦函数y＝sinx的图象描述不正确的是()A．在x∈[2kπ，2kπ＋2π]，k∈Z上的图象形状相同，只是位置不同B．关于x轴对称C．介于直线y＝1和y＝－1之间D．与y轴仅有一个交点B[观察y＝sinx图象可知A，C，D项正确，且关于原点中心对称，故选B.]2．函数y＝－sinx，x∈－π2，3π2的简图是()D[可以用特殊点来验证．当x＝0时，y＝－sin0＝0，排除A，C；当x＝3π2时，y＝－sin3π2＝1，排除B.]3．若sinx＝2m＋1且x∈R，则m的取值范围是__________．[－1,0][因为－1≤sinx≤1，sinx＝2m＋1，所以－1≤2m＋1≤1，解得－1≤m≤0.]4．用五点法画出函数y＝－2sinx在区间[0,2π]上的简图．[解]列表：x0π2π3π22πsinx010－10y＝－2sinx0－2020描点、连线得y＝－2sinx的图象如图：-9-