2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件教案（含

-1-2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件学习目标核心素养1．会用坐标表示平面向量共线的条件．(重点)2．能运用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．(重点、难点)通过向量共线条件的坐标运算及应用，提升学生的数学运算及逻辑推理核心素养.两个向量平行的坐标表示选择基底{e1，e2}．(1)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a∥b⇔a1b2－a2b1＝0.(2)设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，如果向量b不平行于坐标轴，即b1≠0，b2≠0，则a∥b⇔a1b1＝a2b2.用语言可以表述为：两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．思考：如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？[提示]当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如：向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向．向量(－1,2)与(－3,6)同向；向量(－1,0)与(3,0)反向．1．设k∈R，下列向量中，与向量a＝(1，－1)一定不平行的向量是()A．b＝(k，k)B．c＝(－k，－k)C．d＝(k2＋1，k2＋1)D．e＝(k2－1，k2－1)C[由向量共线的判定条件，当k＝0时，向量b，c分别与a平行；当k＝±1时，向量e与a平行．对任意k∈R,1·(k2＋1)＋1·(k2＋1)≠0，∴a与d不平行．]2．已知向量a＝(3，x－1)，b＝(1,2)，若a∥b，则实数x的值为()A．5B．6C．7D．8C[∵a∥b，∴3×2－(x－1)＝0，解得x＝7.]-2-3．已知A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)三点共线，则x＝________.6[∵A(1,2)，B(2,3)，C(5，x)，∴AB→＝(1,1)，AC→＝(4，x－2)，又A，B，C三点共线，∴AB→∥AC→，故x－2－4＝0，解得x＝6.]判定直线平行、三点共线【例1】(1)已知A(1，－3)，B8，12，且A，B，C三点共线，则C的坐标可以是()A．(－9,1)B．(9，－1)C．(9,1)D．(－9，－1)(2)已知四点坐标A(－1,1)，B(1,5)，C(－2，－1)，D(4,11)，请判断直线AB与CD是否平行？(3)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB→与CD→平行吗？直线AB平行于直线CD吗？[思路探究](1)利用向量的平行条件x1y2－x2y1＝0，可证明有公共点的两个平行向量共线，从而可证明三点共线．(2)判定两直线平行，先判定两向量平行，再说明两向量上的相关点不共线．(1)C[设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以AB→∥AC→.因为AB→＝8，12－(1，－3)＝7，72，AC→＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，所以7(y＋3)－72(x－1)＝0，整理得x－2y＝7，经检验可知点(9,1)符合要求，故选C.](2)解：因为AB→＝(1,5)－(－1,1)＝(2,4)，AD→＝(4,11)－(－1，1)＝(5,10)，AC→＝(－2，－1)－(－1,1)＝(－1，－2)，所以AB→＝－2AC→，AD→＝－5AC→.所以AB→∥AC→∥AD→.-3-由于AB→与AC→，AD→有共同的起点A，所以A，B，C，D四点共线，因此直线AB与CD重合．故直线AB与CD不平行．(3)解：因为AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，CD→＝(2－1,7－5)＝(1,2)．又因为2×2－4×1＝0，所以AB→∥CD→.又因为AC→＝(1－(－1)，5－(－1))＝(2,6)，AB→＝(2,4)，所以2×4－2×6≠0，所以A，B，C不共线，所以AB与CD不重合，所以AB∥CD.三点共线的条件以及判断方法：(1)已知A，B，C三点共线时可转化为AB→∥AC→，可利用向量共线的条件求解．(2)利用向量平行证明三点共线时需分两步完成：①证明向量平行；②证明两个向量有公共点．1．设O是坐标原点，OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？[解]∵AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(10－k，k－12)，又A，B，C三点共线，∴(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，解得k＝－2或k＝11.即当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线.已知平面向量共线求参数【例2】(1)已知向量a＝(x,3)，b＝(－3，x)，则①存在实数x，使a∥b；-4-②存在实数x，使(a＋b)∥a；③存在实数x，m，使(ma＋b)∥a；④存在实数x，m，使(ma＋b)∥b.其中，所有叙述正确的序号为________．(2)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？[思路探究](1)可利用向量共线定理列方程判断方程解的情况来解决．(2)可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同向还是反向．(1)④[由a∥b⇔x2＝－9无实数解，故①不对；又a＋b＝(x－3,3＋x)，由(a＋b)∥a得3(x－3)－x(3＋x)＝0，即x2＝－9无实数解，故②不对；因为ma＋b＝(mx－3,3m＋x)，由(ma＋b)∥a得(3m＋x)x－3(mx－3)＝0，即x2＝－9无实数解，故③不对；由(ma＋b)∥b得－3(3m＋x)－x(mx－3)＝0，即m(x2＋9)＝0，所以m＝0，x∈R，故④正确．](2)解：由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－13.这时ka＋b＝－13－3，－23＋2＝－13(a－3b)．所以当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．利用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．(2)利用向量平行的坐标表达式a1b2－a2b1＝0直接求解．2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.2[∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，-5-∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0，∴λ＝2.]向量共线的综合应用【例3】如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标．[思路探究]先设出点P坐标，利用共线条件求解．[解]设P(x，y)，则OP→＝(x，y)，因为OB→＝(4,4)，且OP→与OB→共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2,6)，且AP→与AC→共线，则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3,3)．1．关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解．2．本例利用了向量共线定理，已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的向量解法，为我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平面解析几何问题中的应用，在以后学习中应加以体会运用．3．如图，已知A(4,5)，B(1,2)，C(12,1)，D(11,6)，求AC与BD的交点P的坐标．[解]设BP→＝λBD→＝λ(11－1,6－2)＝(10λ，4λ)．由题意知CB→＝(－11,1)，-6-∴CP→＝CB→＋BP→＝(10λ－11,4λ＋1)．又CA→＝(－8,4)，且CP→与CA→共线，∴4×(10λ－11)＋8×(4λ＋1)＝0，解得λ＝12.设点P的坐标为(xp，yp)，∴BP→＝(5,2)＝(xp－1，yp－2)，∴xp－1＝5，yp－2＝2，即xp＝6，yp＝4，故点P的坐标为(6,4).共线向量与中点坐标公式[探究问题]1．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？[提示]如图所示，∵P为P1P2的中点，∴P1P→＝PP2→，∴OP→－OP1→＝OP2→－OP→，∴OP→＝12(OP1→＋OP2→)＝x1＋x22，y1＋y22，∴线段P1P2的中点坐标是x1＋x22，y1＋y22.2．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？[提示]点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：①当P1P→＝13P1P2→时，OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋13P1P2→＝OP1→＋13(OP2→－OP1→)＝23OP1→＋13OP2→＝2x1＋x23，2y1＋y23.②当P1P→＝23P1P2→时，-7-OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋23P1P2→＝OP1→＋23(OP2→－OP1→)＝13OP1→＋23OP2→＝x1＋2x23，y1＋2y23.3．当P1P→＝λPP2→时，点P的坐标是什么？[提示]∵OP→＝OP1→＋P1P→＝OP1→＋λPP2→＝OP1→＋λ(OP2→－OP→)＝OP1→＋λOP2→－λOP→，∴OP→＝OP1→＋λOP2→1＋λ.