2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.3 三角函数的积化和差与和差化积教案（含解

-1-3.3三角函数的积化和差与和差化积学习目标核心素养1．能根据公式Sα±β和Cα±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．(难点)2．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．(重点)1．通过三角函数的积化和差与和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．2．借助积化和差与和差化积公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.1．积化和差公式cosαcosβ＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；sinαsinβ＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]；sinαcosβ＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；cosαsinβ＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]．2．和差化积公式设α＋β＝x，α－β＝y，则α＝x＋y2，β＝x－y2.这样，上面的四个式子可以写成，sinx＋siny＝2sinx＋y2cosx－y2；sinx－siny＝2cosx＋y2sinx－y2；cosx＋cosy＝2cosx＋y2cosx－y2；cosx－cosy＝－2sinx＋y2sinx－y2.思考：和差化积公式的适用条件是什么？[提示]只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．1．计算sin105°cos75°的值是()-2-A．12B．14C．－14D．－12B[sin105°cos75°＝12(sin180°＋sin30°)＝14.]2．sinπ4＋αcosπ4＋β化成和差的形式为()A.12sin()α＋β＋12cos()α－βB.12cos()α＋β＋12sin()α－βC.12sin()α＋β＋12sin()α－βD.12cos()α＋β＋12cos()α－βB[sinπ4＋α·cosπ4＋β＝12sinπ4＋α＋π4＋β＋sinπ4＋α－π4－β＝12sinπ2＋α＋β＋sinα－β＝12[cos(α＋β)＋sin(α－β)]．＝12cos(α＋β)＋12sin(α－β)．所以选B.]3．下列等式正确的是()A．sinx＋siny＝2sinx＋y2sinx－y2B．sinx－siny＝2cosx＋y2cosx－y2C．cosx＋cosy＝2cosx＋y2cosx－y2D．cosx－cosy＝2sinx＋y2sinx－y2C[由和差化积公式知C正确．]-3-积化和差问题【例1】(1)求值：sin20°cos70°＋sin10°sin50°.(2)求值：sin20°sin40°sin60°sin80°.[思路探究]利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．[解](1)sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝12(sin90°－sin50°)－12(cos60°－cos40°)＝14－12sin50°＋12cos40°＝14－12sin50°＋12sin50°＝14.(2)原式＝cos10°cos30°cos50°cos70°＝32cos10°cos50°cos70°＝3212cos60°＋cos40°·cos70°＝38cos70°＋34cos40°cos70°＝38cos70°＋38(cos110°＋cos30°)＝38cos70°＋38cos110°＋316＝316.积化和差公式的功能与关键1功能：①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式.②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质.2关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.1．求sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°的值．[解]原式＝1－cos40°2＋1＋cos100°2＋12(sin70°－sin30°)＝1＋12(cos100°－cos40°)＋12sin70°－14-4-＝34＋12(－2sin70°sin30°)＋12sin70°＝34－12sin70°＋12sin70°＝34.和差化积问题【例2】已知cosα－cosβ＝12，sinα－sinβ＝－13，求sin(α＋β)的值．[思路探究]利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解．[解]∵cosα－cosβ＝12，∴－2sinα＋β2sinα－β2＝12.①又∵sinα－sinβ＝－13，∴2cosα＋β2sinα－β2＝－13.②∵sinα－β2≠0，∴由①②，得－tanα＋β2＝－32，即tanα＋β2＝32.∴sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2sin2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan2α＋β2＝2×321＋94＝1213.1．(变结论)本例中条件不变，试求cos(α＋β)的值．[解]因为cosα－cosβ＝12，所以－2sinα＋β2sinα－β2＝12.①又因为sinα－sinβ＝－13，所以2cosα＋β2sinα－β2＝－13.②-5-因为sinα－β2≠0，所以由①②，得－tanα＋β2＝－32，即tanα＋β2＝32.所以cos(α＋β)＝cos2α＋β2－sin2α＋β2sin2α＋β2＋cos2α＋β2＝1－tan2α＋β21＋tan2α＋β2＝1－3221＋322＝－513.2．(变条件)将本例中的条件“cosα－cosβ＝12，sinα－sinβ＝－13”变为“cosα＋cosβ＝12，sinα＋sinβ＝－13”，结果如何？[解]因为cosα＋cosβ＝12，所以2cosα＋β2cosα－β2＝12.①又因为sinα＋sinβ＝－13，所以2sinα＋β2cosα－β2＝－13.②所以cosα－β2≠0，所以由①②，得tanα＋β2＝－23，所以sin(α＋β)＝2sinα＋β2cosα＋β2sin2α＋β2＋cos2α＋β2＝2tanα＋β21＋tan2α＋β2＝2×－231＋－232＝－1213.和差化积公式应用时的注意事项1在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次.2根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项.3为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用-6-公式，如12－cosα＝cosπ3－cosα.公式的综合应用[探究问题]1．解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？[提示]注意三角形中的隐含条件的应用，如A＋B＋C＝π，a＋bc等．2．在△ABC中有哪些重要的三角关系？[提示]在△ABC中的三角关系：sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，sinA＋B2＝cosC2，cosA＋B2＝sinC2，sin(2A＋2B)＝－sin2C，cos(2A＋2B)＝cos2C.【例3】在△ABC中，求证：sinA＋sinB－sinC＝4sinA2sinB2cosC2.[思路探究]利用和差化积进行转化，转化时要注意A＋B＋C＝π.[解]左边＝sin(B＋C)＋2sinB－C2·cosB＋C2＝2sinB＋C2cosB＋C2＋2sinB－C2cosB＋C2＝2cosB＋C2sinB＋C2＋sinB－C2＝4sinA2sinB2cosC2＝右边，∴原等式成立．证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.2．在△ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC＝4cosA2cosB2cosC2.[证明]由A＋B＋C＝180°，得C＝180°－(A＋B)，-7-即C2＝90°－A＋B2，∴cosC2＝sinA＋B2.∴sinA＋sinB＋sinC＝2sinA＋B2·cosA－B2＋sin(A＋B)＝2sinA＋B2·cosA－B2＋2sinA＋B2·cosA＋B2＝2sinA＋B2cosA－B2＋cosA＋B2＝2cosC2·2cosA2·cos－B2＝4cosA2cosB2cosC2，∴原等式成立．(教师用书独具)1．公式的记忆和差化积公式记忆口诀：“正和正在前，正差正后迁；余和一色余，余差翻了天．”(正代表sinα，余代表cosα)2．公式的应用注意公式的应用条件、各种三角恒等变换公式以及公式之间的相互推导．1．sin75°－sin15°的值为()A．12B．22C．32D．－12B[sin75°－sin15＝2cos75°＋15°2sin75°－15°2＝2×22×12＝22.故选B.]2．函数y＝sinx－π6cosx的最大值为()A．12B．14C．1D．22-8-B[∵y＝sinx－π6cosx＝12sinx－π6＋x－sinx＋π6－x＝12sin2x－π6－12＝12sin2x－π6－14.∴函数y的取最大值为14.]3．已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝15，则sinαcosβ＝________.1330[sinαcosβ＝12sin(α＋β)＋12sin(α－β)＝12×23＋12×15＝1330.]4．化简下列各式：(1)cosA＋cos120°＋B＋cos120°－BsinB＋sin120°＋A－sin120°－A；(2)sinA＋2sin3A＋sin5Asin3A＋2sin5A＋sin7A.[解](1)原式＝cosA＋2cos120°cosBsinB＋2cos120°sinA＝cosA－cosBsinB－sinA＝2sinA＋B2sinB－A22cosA＋B2sinB－A2＝tanA＋B2.(2)原式＝sinA＋sin5A＋2sin3Asin3A＋sin7A＋2sin5A＝2sin3Acos2A＋2sin3A2sin5Acos2A＋2sin5A＝2sin3Acos2A＋12sin5Acos2A＋1＝sin3Asin5A.