2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象教案（含解析）

-1-1.4.1正弦函数、余弦函数的图象学习目标核心素养1.了解正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画函数图象的方法．(重点)2．正、余弦函数图象的简单应用．(难点)3．正、余弦函数图象的区别与联系．(易混点)1.通过简谐振动的实验引出正弦函数、余弦函数的图象，培养学生数学直观和直观想象的核心素养．2．通过“五点法”作图和函数图象的变换，提升学生逻辑推理能力，深透数形结合素养.1．正弦曲线正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线．2．正弦函数图象的画法(1)几何法：①利用单位圆中正弦线画出y＝sinx，x∈[0，2π]的图象；②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．(2)五点法：①画出正弦曲线在[0，2π]上的图象的五个关键点(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)，用光滑的曲线连接；②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)．思考：把用“五点法”作出的图象向左、右平行移动2π的整数倍单位就得到整条曲线，依据是什么？提示：依据是诱导公式(一)：sin(2kπ＋α)＝sinα(k∈Z)，或者说终边相同的角的正弦线相同．3．余弦曲线余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线．-2-4．余弦函数图象的画法(1)要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移π2个单位长度即可．(2)用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0，2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．思考：y＝cosx(x∈R)的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象平移得到的原因是什么？[提示]因为cosx＝sinx＋π2，所以y＝sinx(x∈R)的图象向左平移π2个单位可得y＝cosx(x∈R)的图象．1．用“五点法”作函数y＝2sinx－1的图象时，首先应描出的五点的横坐标可以是()A．0，π2，π，3π2，2πB．0，π4，π2，3π4，πC．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π2，2π3A[根据“五点法”作图，x的取值为0，π2，π，3π2，2π.]2．函数y＝sin|x|的图象是()B[y＝sin|x|是偶函数，x≥0时，其图象与y＝sinx的图象完全相同．]3．请补充完整下面用“五点法”作出y＝－sinx(0≤x≤2π)的图象时的列表．x0π2①3π22π－sinx②－10③0①________；②________；③________．π01[用“五点法”作y＝－sinx(0≤x≤2π)的图象的五个关键点为(0，0)，-3-π2，－1，(π，0)，3π2，1，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.]4．函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－12的交点有________个．2[由图象可知：函数y＝cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝－12有两个交点．]正弦函数、余弦函数图象的初步认识【例1】(1)下列叙述正确的是()①y＝sinx，x∈[0，2π]的图象关于点P(π，0)成中心对称；②y＝cosx，x∈[0，2π]的图象关于直线x＝π成轴对称；③正、余弦函数的图象不超过直线y＝1和y＝－1所夹的范围．A．0B．1个C．2个D．3个(2)下列函数图象相同的是()A．f(x)＝sinx与g(x)＝sin(π＋x)B．f(x)＝sinx－π2与g(x)＝sinπ2－xC．f(x)＝sinx与g(x)＝sin(－x)D．f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sinx(1)D(2)D[(1)分别画出函数y＝sinx，x∈[0，2π]和y＝cosx，x∈[0，2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．(2)A中g(x)＝－sinx；B中，f(x)＝－cosx，g(x)＝cosx；C中g(x)＝－sinx；D中f(x)＝sinx，故选D.]解决正、余弦函数图象的注意点对于正、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到．1．关于三角函数的图象，有下列说法：①y＝sinx＋1.1的图象与x轴有无限多个公共点；-4-②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象相同；③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；④y＝cosx与y＝cos(－x)的图象关于y轴对称．其中正确的序号是________．②④[对②，y＝cos(－x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx，故其图象相同；对④，y＝cos(－x)＝cosx，故其图象关于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．]用“五点法”作三角函数的图象【例2】用“五点法”作出下列函数的简图．(1)y＝1－sinx(0≤x≤2π)；(2)y＝－1＋cosx(0≤x≤2π)．思路点拨：列表：让x的值依次取0，π2，π，3π2，2π→描点→用平滑曲线连接[解](1)①取值列表如下：x0π2π3π22πsinx010－101－sinx10121②描点连线，如图所示.(2)①取值列表如下：x0π2π3π22πcosx10－101－1＋cosx0－1－2－10②描点连线，如图所示．用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0，2π]上简图的步骤：-5-(1)列表：x0π2π3π22πsinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或－1)－1(或0)0(或1)yb(或A＋b)A＋b(或b)b(或－A＋b)－A＋b(或b)b(或A＋b)(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y1)，π2，y2，(π，y3)，3π2，y4，(2π，y5)，这里的yi(i＝1，2，3，4，5)值是通过函数解析式计算得到的．(3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，就得到正(余)弦函数y＝Asinx＋b(y＝Acosx＋b)(A≠0)的图象．提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量统一单位长度．2．用“五点法”画出函数y＝12＋sinx，x∈[0，2π]上的图象．[解]取值列表如下：x0π2π3π22πsinx010－1012＋sinx123212－1212描点，并将它们用光滑的曲线连接起来．(如图)正弦、余弦函数图象的应用[探究问题]1．解三角不等式sinx＞a(或cosx＞x＞a)一般有几种方法？提示：一般有两种方法：一是利用三角函数线，结合单位圆求解；一是利用正、余弦函-6-数图象解决．2．如何处理方程f(x)＝g(x)的根的个数问题？[提示]在同一坐标中，分别画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象，观察交点个数，如求sinx＝x的实根个数时，可以在同一坐标系内分别作出y＝sinx，y＝x图象(略)可知在x∈[0，1]内，sinx＜x没有交点，当x＞1时不会相交，所以方程只有一个实根为0.【例3】(1)函数y＝2sinx－1的定义域为________．(2)在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，根据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数．思路点拨：(1)列出不等式→画出函数图象→写出解集(2)画出y＝sinx和y＝lgx的图象→找准关键点（10，1）→判断两个函数图象的公共点个数→判断方程sinx＝lgx的解的个数(1)xπ6＋2kπ≤x≤5π6＋2kπ，k∈Z[由2sinx－1≥0得sinx≥12，画出y＝sinx的图象和直线y＝12.可知sinx≥12的解集为xπ6＋2kπ≤x≤5π6＋2kπ，k∈Z.](2)[解]建立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈R的图象．描出点(1，0)，(10，1)，并用光滑曲线连接得到y＝lgx的图象，如图所示．由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个．1．本例(1)中的“sinx”改为“cosx”，应如何解答？[解]由2cosx－1≥0得cosx≥12，画出y＝cosx的图象和直线y＝12.-7-观察图象可知cosx≥12的解集是x2kπ－π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z.2．把本例(2)中两函数改为“y＝x，y＝cosx”，方程“sinx＝lgx”改为“x＝cosx”，应如何解答？[解]y＝x中x的取值范围是[0，＋∞)．分别作出y＝x，y＝cosx的图象，如图．由图象可观察到两个函数图象只有一个交点，所以方程x＝cosx只有唯一一个根．1．用三角函数的图象解sinx＞a(或cosx＞a)的方法(1)作出y＝a，y＝sinx(或y＝cosx)的图象．(2)确定sinx＝a(或cosx＝a)的x值．(3)确定sinx＞a(或cosx＞a)的解集．2．利用三角函数线解sinx＞a(或cosx＞a)的方法(1)找出使sinx＝a(或cosx＝a)的两个x值的终边所在的位置．(2)根据变化趋势，确定不等式的解集．1．三角函数图象是本节课的重点．三角函数图象直观地反映了三角函数的性质，所以画好三角函数的图象是研究三角函数性质的关键，因此一定要掌握正弦、余弦函数的图象特征，特别是会灵活运用五点作图法准确作出函数图象．2．“五点法”画正弦函数图象的理解(1)与前面学习函数图象的画法类似，在用描点法探究函数图象特征的前提下，若要求精度不高，只要描出函数图象的“关键点”，就可以根据函数图象的变化趋势画出函数图象的草图．(2)正弦型函数图象的关键点是函数图象中最高点、最低点以及与x轴的交点．3．作函数y＝Asinx＋b的图象的步骤-8-1．对于余弦函数y＝cosx的图象，有以下三项描述：①向左向右无限延伸；②与x轴有无数多个交点；③与y＝sinx的图象形状一样，只是位置不同．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个D[根据正余弦函数图象可知，①②③正确．]2．函数y＝cosx与函数y＝－cosx的图象()A．关于直线x＝1对称B．关于原点对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称C[由解析式可知y＝cosx的图象过点(a，b)，则y＝－cosx的图象必过点(a，－b)，由此推断两个函数的图象关于x轴对称．]3．若方程sinx＝4m＋1在x∈[0，2π]上有解，则实数m的取值范围是________．－12，0[因为x∈[0，2π]时，－1≤sinx≤1，∴方程有解可转化为－1≤4m＋1≤1，解得－12≤m≤0.]4．用“五点法”画出函数y＝2sinx，x∈[0，2π]上的图象．[解](1)列表：x0π2π3π22π2sinx020－20(2)描点作图，如下：-9-