2019-2020学年高中数学 第2章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理教案（含解析）新人教A

-1-2.3.1平面向量基本定理学习目标核心素养1.了解基底的含义，理解并掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量．(重点)2.掌握两个向量共线的定义以及两向量垂直的定义．(难点)3.两个向量的夹角与两条直线所成的角．(易混点)1.通过作图教学引导学生自主得出平面向量基本定理，培养学生直观想象和数据分析的核心素养.2.通过向量夹角和基底的学习，培养了学生直观想象和逻辑推理的核心素养.1．平面向量基本定理条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量结论对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底思考：0能与另外一个向量a构成基底吗？[提示]不能，0不能作为基向量．2.两向量夹角的概念已知两个非零向量a和b，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB＝θ，叫作向量a与b的夹角．(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°≤θ≤180°．(2)当θ＝0°时，a与b同向．(3)当θ＝180°时，a与b反向．3．垂直如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b．1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()-2-A．e1－e2，e2－e1B．2e1－e2，e1－12e2C．2e2－3e1，6e1－4e2D．e1＋e2，e1－e2D[A、B、C中两个向量都满足a＝λb，故选D.]2．给出下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中，说法正确的为()A．①②B．②③C．①③D．①②③B[根据基底的概念，可知②③正确．]3．若△ABC是等边三角形，则AB→与BC→的夹角的大小为．120°[由向量夹角的定义知AB→与BC→的夹角与∠B互补，大小为120°.]4．如图所示，向量OA→可用向量e1，e2表示为．4e1＋3e2[由图可知，OA→＝4e1＋3e2.]用基底表示向量【例1】(1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且BC→＝a，CA→＝b，给出下列结论：①AD→＝－12a－b；②BE→＝a＋12b；③CF→＝－12a＋12b；④EF→＝12a.其中正确的结论的序号为．(2)如图所示，▱ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若AB→＝-3-a，AD→＝b，试用a，b表示向量DE→，BF→.思路点拨：用基底表示平面向量，要充分利用向量加减法的三角形法则和平行四边形法则．(1)①②③[如图，AD→＝AC→＋CD→＝－b＋12CB→＝－b－12a，①正确；BE→＝BC→＋CE→＝a＋12b，②正确；AB→＝AC→＋CB→＝－b－a，CF→＝CA→＋12AB→＝b＋12(－b－a)＝12b－12a，③正确；④EF→＝12CB→＝－12a，④不正确．](2)DE→＝DA→＋AB→＋BE→＝－AD→＋AB→＋12BC→＝－AD→＋AB→＋12AD→＝a－12b.BF→＝BA→＋AD→＋DF→＝－AB→＋AD→＋12AB→＝b－12a.1．若本例(2)中条件不变，试用a，b表示AG→.[解]由平面几何的知识可知BG→＝23BF→，故AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BF→-4-＝a＋23b－12a＝a＋23b－13a＝23a＋23b.2．若本例(2)中的基向量“AB→，AD→”换为“CE→，CF→”，即若CE→＝a，CF→＝b，试用a，b表示向量DE→，BF→.[解]DE→＝DC→＋CE→＝2FC→＋CE→＝－2CF→＋CE→＝－2b＋a.BF→＝BC→＋CF→＝2EC→＋CF→＝－2CE→＋CF→＝－2a＋b.用基底表示向量的三个依据和两个“模型”(1)依据：①向量加法的三角形法则和平行四边形法则；②向量减法的几何意义；③数乘向量的几何意义．(2)模型：向量的夹角【例2】(1)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，c⊥a，则a，b的夹角等于．(2)若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．思路点拨：可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决．(1)120°[作BC→＝a，CA→＝b，则c＝a＋b＝BA→(如图所示)，-5-则a，b夹角为180°－∠C.∵|a|＝1，|b|＝2，c⊥a，∴∠C＝60°，∴a，b的夹角为120°.](2)[解]由向量运算的几何意义知a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形两条对角线．如图，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴∠BOA＝60°.又∵OC→＝a＋b，且在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，∴a与a＋b的夹角是30°.两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决．(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．提醒：寻找两个向量的夹角时要紧扣定义中“共起点”这一特征，避免出现错误．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝AC，则AB→与BC→夹角的大小为．150°[如图所示，因为∠A＝120°，AB＝AC，所以∠B＝30°，所以AB→与BC→的夹角为180°－∠B＝150°.]平面向量基本定理的唯一性及其应用[探究问题]若存在实数λ1，λ2，μ1，μ2及不共线的向量e1，e2，使向量a＝λ1e1＋λ2e2，a＝μ1e1＋μ2e2，则λ1，λ2，μ1，μ2有怎样的大小关系？-6-提示：由题意λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，即(λ1－μ1)e1＝(μ2－λ2)e2，由于e1，e2不共线，故λ1＝μ1，λ2＝μ2.【例3】如图所示，在△OAB中，OA→＝a，OB→＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求OP→.思路点拨：可利用OP→＝tOM→及OP→＝ON→＋NP→＝ON→＋sNB→两种形式来表示OP→，并都转化为以a，b为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而得OP→.[解]OM→＝OA→＋AM→＝OA→＋23AB→＝OA→＋23(OB→－OA→)＝13a＋23b.因为OP→与OM→共线，故可设OP→＝tOM→＝t3a＋2t3b.又NP→与NB→共线，可设NP→＝sNB→，OP→＝ON→＋sNB→＝34OA→＋s(OB→－ON→)＝34(1－s)a＋sb，所以34（1－s）＝t3，s＝23t，解得t＝910，s＝35，所以OP→＝310a＋35b.1．将本例中“点M是AB上靠近B的一个三等分点”改为“点M是AB上靠近A的一个三等分点”，“点N是OA上靠近A的一个四分点”改为“点N为OA的中点”，求BP∶PN的值．[解]BN→＝ON→－OB→＝12a－b，OM→＝OA→＋AM→＝OA→＋13AB→＝OA→＋13(OB→－OA→)＝23OA→＋13OB→＝23a＋13b.因为O，P，M和B，P，N分别共线，-7-所以存在实数λ，μ使BP→＝λBN→＝λ2a－λb，OP→＝μOM→＝2μ3a＋μ3b，所以OB→＝OP→＋PB→＝OP→－BP→＝2μ3－λ2a＋μ3＋λb，又OB→＝b，所以2μ3－λ2＝0，μ3＋λ＝1，解得λ＝45，μ＝35，所以BP→＝45BN→，即BP∶PN＝4∶1.2．将本例中点M，N的位置改为“OM→＝12MB→，N为OA的中点”，其他条件不变，试用a，b表示OP→.[解]AM→＝OM→－OA→＝13OB→－OA→＝13b－a，BN→＝ON→－OB→＝12OA→－OB→＝12a－b.因为A，P，M三点共线，所以存在实数λ使得AP→＝λAM→＝λ3b－λa，所以OP→＝OA→＋AP→＝(1－λ)a＋λ3b.因为B，P，N三点共线，所以存在实数μ使得BP→＝μBN→＝μ2a－μb，所以OP→＝OB→＋BP→＝μ2a＋(1－μ)b.即1－λ＝μ2，λ3＝1－μ，解得λ＝35，μ＝45，所以OP→＝25a＋15b.1．任意一向量基底表示的唯一性的理解：-8-条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a＝λ1e1＋μ1e2且a＝λ2e1＋μ2e2结论λ1＝λ2，μ1＝μ22.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．1．对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件．(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．2．准确理解平面向量基本定理(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决.1．下列四种说法正确的个数为()①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的；④e1，e2是平面α内两个不共线向量，若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.()A．1B．2C．3D．4C[零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，根据平面向量基本定理可知①③④正确．]2．已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A．AB→，DC→B．AD→，BC→-9-C．BC→，CB→D．AB→，DA→D[由于AB→，DA→不共线，所以是一组基底．]3．若a与b的夹角为45°，那么2a与－3b的夹角是．135°[2a与a方向相同，－3b与b方向相反，所以2a与－3b的夹角为45°的补角135°.]4．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若AB→＝a，AC→＝b，用a，b表示AD→，AE→，AF→.[解]AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋12BC→＝a＋12(b－a)＝12a＋12b；AE→＝AB→＋BE→＝AB→＋13BC→＝a＋13(b－a)＝23a＋13b；AF→＝AB→＋BF→＝AB→＋23BC→＝a＋23(b－a)＝13a＋23b.