2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.2.1 直线与平面平行的判

-1-2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定知识导图学法指导1.在进行线面平行、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从线线平行到线面平行，再到面面平行．2．使用线面平行、面面平行的判定定理时，一定要特别注意定理的使用条件，这些条件有很强的制约性，但它们也是我们解题时打开思路的突破口．高考导航1.判定直线与平面平行：在高考中常有考查，多在解答题的第一问出现，难度不大，分值5～7分．2．判定平面与平面平行：在高考中较少单独考查，一般以选择题或填空题的形式出现，以符号语言为载体，综合考查直线与平面、平面与平面等的位置关系，难度中等，分值5分.知识点一直线与平面平行的判定文字语言平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行图形语言符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：(1)直线a在平面α外，即a⊄α；(2)直线b在平面α内，即b⊂α；(3)两直线a，b平行，即a∥b.知识点二平面与平面平行的判定文字语言一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行-2-图形语言符号语言a⊂βb⊂βa∩b＝Pa∥αb∥α⇒β∥α1．平面与平面平行的判定定理中的平行于一个平面内的“两条相交直线”是必不可少的．2．面面平行的判定定理充分体现了等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l上有两点到平面α的距离相等，则l∥平面α.()(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．()(3)两条平行线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．()答案：(1)×(2)×(3)×2．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．平行或相交D．以上都不对解析：当每个平面内的两条直线都是相交直线时，可推出两个平面一定平行，否则，两个平面有可能相交．答案：C3．下列结论正确的是()A．过直线外一点，与该直线平行的平面只有一个B．过直线外一点，与该直线平行的直线有无数条C．过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条D．过两条平行线中的一条的任一平面均与另一条直线平行解析：过平面外一点，与该平面平行的直线有无数条，只要直线与平面无公共点，就是直线与平面平行．答案：C-3-4．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线都不相交解析：因为a∥平面α，直线a与平面α无公共点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交，故选D.答案：D类型一直线与平面平行的判定例1如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.【证明】如图，连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则DF∥BC1.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.在平面A1CD内找到与BC1平行的直线，利用直线与平面平行的判定定理证明．方法归纳(1)直线与平面平行的判定定理的应用步骤①线与线平行；②一条线在已知平面内；③一条线在已知平面外．(2)中点的应用在题目中出现中点时，常见的证线线平行的两种途径：-4-①中位线→线线平行；②平行四边形→线线平行．跟踪训练1如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，C1D1的中点，求证：EF∥平面BDD1B1.证明：如图，取D1B1的中点O，连接OF，OB.∵OF綊12B1C1，BE綊12B1C1，∴OF綊BE，∴四边形OFEB是平行四边形，∴EF∥BO.∵EF⊄平面BDD1B1，BO⊂平面BDD1B1，∴EF∥平面BDD1B1.要证EF∥平面BDD1B1，从平面BDD1B1中寻找一条直线与EF平行是证明的关键．类型二平面与平面平行的判定例2如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，CD，A′B′，C′D′的中点．求证：平面A′EFD′∥平面BCF′E′.【证明】∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，∴A′E′綊BE，∴四边形A′EBE′为平行四边形，∴A′E∥BE′.-5-∵A′E⊄平面BCF′E′，BE′⊂平面BCF′E′，∴A′E∥平面BCF′E′.同理，A′D′∥平面BCF′E′.又A′E∩A′D′＝A′，∴平面A′EFD′∥平面BCF′E′.由平面与平面平行的判定定理知，要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线与另一个平面平行即可．方法归纳利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论．跟踪训练2如图所示，点B为△ACD所在平面外一点，点M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．求证：平面MNG∥平面ACD.证明：连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于点P，F，H.∵点M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，∴BMMP＝BNNF＝BGGH＝2.连接PF、FH，PH，则有MN∥PF.又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD，∴MN∥平面ACD.同理可得MG∥平面ACD，又∵MG∩MN＝M，∴平面MNG∥平面ACD.-6-类型三线面平行、面面平行的综合应用例3在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G，H分别为CC′，C′D′，DD′，CD的中点，N为BC的中点，试在E，F，G，H四点中找两点，使这两个点与点N确定一个平面α且平面α∥平面BB′D′D.【解析】如图，连接HN，由中位线定理得，HN∥BD.∵BD⊂平面BB′D′D，HN⊄平面BB′D′D，∴HN∥平面BB′D′D.连接HF，则HF∥DD′，∵DD′⊂平面BB′D′D，HF⊄平面BB′D′D，∴HF∥平面BB′D′D.又HN∩HF＝H，连接FN，则平面HFN∥平面BB′D′D，∴H，F，N三点确定的平面α与平面BB′D′D平行．由平面与平面平行的判定定理知，只需所找的两点与点N构成的直线中，有两条相交直线与平面BB′D′D平行即可．方法归纳线面、面面平行综合应用的策略(1)在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的．(2)因为线线平行――→判定定理下面以图(1)为例进行证明．连接ME，B′D′.∵四边形ABEM是平行四边形，∴BE∥AM.又BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.∵MN是△A′B′D′的中位线，∴MN∥B′D′.-7-∵四边形BDD′B′是平行四边形，∴BD∥B′D′，∴MN∥BD.又BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，∴MN∥平面BDE.又AM⊂平面AMN，MN⊂平面AMN，且AM∩MN＝M，∴平面AMN∥平面BDE.