2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.1 直线与平面垂直的判

-1-2.3.1直线与平面垂直的判定知识导图学法指导1.直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线与平面相交所成的角为90°的角度来讨论，又可以从已有的线线垂直关系出发进行推理和论证．2．在线面垂直的判定定理中，有非常重要的限制条件“两条相交直线”，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用时一定要注意体现逻辑推理的规范性．3．求直线与平面所成的角的关键是作直线在平面上的射影．高考导航1.考查线线、线面垂直关系的判定，常以选择题的形式出现，也可以是解答题的某一问，分值5分．2．考查直线与平面所成的角，常出现在文科卷中，以解答题的一问的形式呈现，分值5分．3．考查与其他知识的综合问题，如求体积、参数、比值等，分值5～6分.知识点一直线与平面垂直直线与平面垂直定义如果直线l与平面α内的所有直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫作平面α的垂线，平面α叫作直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫作垂足-2-画法通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图判定定理文字表述：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表述：l⊥al⊥ba∩b＝Aa⊂αb⊂α⇒l⊥α1．直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形．2．注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线”．3．判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调“相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直．知识点二直线与平面所成的角直线和平面所成的角定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫作这条直线和这个平面所成的角．当直线与平面垂直时，它们所成的角是90°.当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是0°范围0°≤θ≤90°画法如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．-3-[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行．()(2)若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥b.()(3)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.()答案：(1)×(2)√(3)×2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与BC1垂直的平面是()A．平面DD1C1CB．平面A1B1CDC．平面A1B1C1D1D．平面A1DB解析：由于易证BC1⊥B1C，又CD⊥平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.因为B1C∩CD＝C，所以BC1⊥平面A1B1CD.答案：B3．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A．平面OABB．平面OACC．平面OBCD．平面ABC解析：∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，∴OA⊥平面OBC.答案：C4．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥α，l∥m，则m⊥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：易知A正确．B项，l与m可能异面，也可能平行．C项，当l与α内两条相交直线垂直时，才能判定l⊥α.D项，l与m可能平行、异面或相交．答案：A类型一直线与平面垂直定义的理解例1已知平面α及α外一条直线l，给出下列命题：①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；②若l垂直于α内所有直线，则l⊥α；③若l垂直于α内任意一条直线，则l⊥α；④若l垂直于α内两条平行直线，则l⊥α.-4-其中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】根据直线与平面垂直的定义可知，②③正确，①④不正确．【答案】C命题是否正确，一般先考虑能否利用定义来判断．方法归纳直线与平面垂直要求直线与平面内的任一直线都垂直，“任一直线”与“所有直线”表示相同的含义．但“任一直线”与“无数条直线”含义不一样．跟踪训练1如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．能保证该直线与平面垂直的是________(填序号)．解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证该直线与平面垂直．而②中梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件．答案：①③④用定义判断时一定要弄清两直线是否相交．类型二证明直线与平面垂直例2如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AC＝BC，N是AB的中点．求证：CN⊥平面ABB1A1.【证明】AA1⊥底面ABCCN⊂底面ABC⇒AA1⊥CN，AC＝BCN是AB的中点⇒AB⊥CN，又AA1⊂平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，AA1∩AB＝A，所以CN⊥平面ABB1A1.要证明CN⊥平面ABB1A1，先证明AA1⊥CN且AB⊥CN.方法归纳-5-线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直．推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件．跟踪训练2如图，已知PA⊥底面ABC，其中∠ABC＝90°.求证：BC⊥平面PAB.证明：∵PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又AB∩PA＝A，且AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，∴BC⊥平面PAB.本题中直接给出直角，据此可得垂直关系．类型三直线与平面所成的角例3已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的斜线，且∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝1，BC＝2.求OA与平面α所成的角的大小．【解析】∵OA＝OB＝OC＝1，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴△AOB，△AOC为正三角形，∴AB＝AC＝1，又BC＝2，∴AB2＋AC2＝BC2，∴AB⊥AC，∴△BAC为等腰直角三角形．∵OB＝OC＝1，BC＝2，∴OB2＋OC2＝BC2，∴OB⊥OC，∴△BOC为等腰直角三角形，如图，取BC的中点H，连接AH，OH，则AH⊥BC，易得△AHB≌△AHO，∴AH⊥OH，又OH∩BC＝H，OH⊂平面α，BC⊂平面α，∴AH⊥平面α，∴∠AOH即为OA与平面α所成的角．在Rt△AOH中，AH＝22，∴sin∠AOH＝AHAO＝22，∴∠AOH＝45°，即AO与平面α所成的角的大小为45°.证明△AOB，△AOC为正三角形→证明△BAC，△BOC为等腰直角三角形→取BC的中点H→-6-证明AH⊥平面α→找出直线OA与平面α所成的角→求角方法归纳求直线与平面所成的角的步骤(1)作：在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步确定垂足的位置是关键；(2)证：证明所找到的角为直线与平面所成的角，证明的主要依据为直线与平面所成的角的定义；(3)求：一般来说是借助三角形的相关知识求角．跟踪训练3在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值．解析：如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO，B1C.由ABCD－A1B1C1D1为正方体，易得B1C⊥BC1，B1C⊥D1C1，BC1∩D1C1＝C1，BC1⊂平面ABC1D1，D1C1⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵E，F分别为A1B1，CD的中点，∴EF∥B1C，∴EF⊥平面AC1，即∠EAO为直线AE与平面ABC1D1所成的角．在Rt△EOA中，EO＝12EF＝12B1C＝22，AE＝A1E2＋AA21＝122＋12＝52，∴sin∠EAO＝EOAE＝105.∴直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为105.求直线与平面所成的角⇒按“一作，二证，三算”的步骤计算．-7-[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知直线l⊥α，α∥β，则()A．l∥βB．lβC．l⊥βD．以上均有可能解析：由于α∥β，则平面β内存在两条相交直线m，n分别平行于平面α内两条相交直线a，b，又l⊥α，则l⊥a，l⊥b，所以l⊥m，l⊥n，所以l⊥β.答案：C2．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A．平行B．相交C．异面D．垂直解析：若l∥m，则l⊄α，∵m⊂α，∴l∥α，这与已知l⊥α矛盾，所以直线l与m不可能平行．答案：A3．已知直线a、b和平面α，下列推理中错误的是()A.a⊥αb⊂α⇒a⊥bB.a∥ba⊥α⇒b⊥αC.a⊥bb⊥α⇒a∥α或a⊂αD.a∥αb∥α⇒a∥b解析：当a∥α，b∥α时，a与b可能平行，也可能相交或异面，即D推理错误．故选D.答案：D4．ABCD－A1B1C1D1为正方体，下列结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．AC1⊥BD1解析：正方体中BD∥B1D1，可知选项A正确；-8-由BD⊥AC，BD⊥CC1可得BD⊥平面ACC1；从而BD⊥AC1，即选项B正确；由以上可得AC1⊥B1D1，同理AC1⊥D1C，因此AC1⊥平面CB1D1，即选项C正确；由于四边形ABC1D1不是菱形，所以AC1⊥BD1不正确．选D.答案：D5．如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．在三棱锥P－ABC中，最多有________个直角三角形．解析：不妨设PA⊥AB，PA⊥AC，则△APB，△PAC为直角三角形，由线面垂直的判定定理，可得PA⊥面ABC，由线面垂直的定义，可知PA⊥BC，若∠ABC＝90°，则BC⊥AB，∴BC⊥面PAB，即∠PBC＝90°，∴△ABC，△PBC为直角三角形，故直角三角形最多有4个．答案：47．有下列四种说法，正确的序号是________．①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直；②已知两条不重合的直线m，n和平面α，若m⊥n，m⊥α，则n∥α；③a，b，l表示三条不同的直线，α表示平面，若a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，则l⊥α；④若直线a不平行于平面α，则直线a垂直于平面α.-9-解析：①正确；对于②，若直线n⊂α，也可满足m⊥n，m⊥α，此时n∥α不正确；对于③，只有a，b相交时，才成立，否则不成立；④显然错误，因为不平行时可以相交，而垂直只是相交的一种特殊情况．故只有①正确．答案：①8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝AA1＝1，则BD1与平面A1B1C1D1所成的角的大小为________．解析：如图所示，连接B1D1，则B1D1是BD1在平面A1B1C1D1上的射影，则∠BD1B1是BD1与平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△BD1B1中，tan∠BD1B1＝BB1B1D1＝13＝33，则∠BD1B1＝30°.答案：30°三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，在四棱锥S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.求证：SD⊥平面SAB.证明：∵AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝1，∴底面ABCD为直角梯形，AD＝2－12＋22＝5.∵侧面SAB为等边三角形，∴SA＝SB＝AB＝2.又SD＝1，∴AD2＝SA2＋SD2，∴SD⊥SA.连接BD，则BD＝22＋12＝5，∴BD2＝SD2＋SB2，∴SD⊥SB.又SA∩SB＝S，∴SD⊥平面SAB.-10-10．如图所示，已知AB为圆O的直径，且AB＝4，点D为线段AB上一点，且AD＝13DB，点C为圆O上一点，且BC＝3AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB.(1)求证：CD⊥平面PAB；(2)求直线PC与平面