2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1.1 指数与指数幂的运算学案（含解析

-1-2.1.1指数与指数幂的运算课标要点课标要点学考要求高考要求1.根式的意义aa2.分数指数幂的意义bb3.无理数指数幂的意义aa4.有理数指数幂的运算性质cc知识导图学法指导1.弄清(na)n与nan的区别，掌握n次根式的运算．2．能够利用amn＝nam进行根式与分数指数幂的互化．3．通过对根指数n的讨论学会运用分类讨论的思想方法．4．利用整体代换的思想求代数式的值.知识点一n次方根及根式的概念1．a的n次方根的定义如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且n∈N*.根式的概念中要求n1，且n∈N*.-2-2．a的n次方根的表示(1)当n是奇数时，a的n次方根表示为na，a∈R.(2)当n是偶数时，a的n次方根表示为±na，其中－na表示a的负的n次方根，a∈[0，＋∞)．3．根式式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．,知识点二根式的性质(1)(na)n＝a(n∈R＋，且n1)；(2)nan＝an为奇数，且n1|a|n为偶数，且n1.(na)n中当n为奇数时，a∈R；n为偶数时，a≥0，而nan中a∈R.知识点三分数指数幂的意义及有理数指数幂的运算性质1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：amn＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)负分数指数幂规定：a－mn＝1amn＝1nam(a0，m，n∈N*，且n1)性质0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义2.有理数指数幂的运算性质(1)aras＝ar＋s；(2)(ar)s＝ars；(3)(ab)r＝arbr.3．无理数指数幂无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个无理数．有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用．-3-[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意实数的奇次方根只有一个．()(2)正数的偶次方根有两个且互为相反数．()(3)42＝4－π.()(4)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘．()(5)0的任何指数幂都等于0.()答案：(1)√(2)√(3)√(4)×(5)×2．b4＝3(b0)，则b等于()A．34B．314C．43D．35解析：因为b4＝3(b0)，∴b＝43＝314.答案：B3．下列各式正确的是()A.32＝－3B.4a4＝aC．(3－2)3＝－2D.323＝2解析：由于32＝3，4a4＝|a|，323＝－2，故选项A，B，D错误，故选C.答案：C4.81625－14的值是________．解析：816251-4＝6258114＝462581＝45434＝4534＝53.答案：53,类型一利用根式的性质化简求值,例1(1)下列各式正确的是()A.8a8＝aB．a0＝1C.444＝－4D.555＝－5(2)计算下列各式：-4-①5a5＝________.②636＝________.③614－3338－30.125＝________.【解析】(1)由于nan＝|a|，n为偶数，a，n为奇数，则选项A，C排除，D正确，B需要加条件a≠0.(2)①5a5＝－a.②636＝636＝π－3.③614－3338－30.125＝522－3323－3123＝52－32－12＝12.【答案】(1)D(2)①－a②π－3③12首先确定式子nan中n的奇偶，再看式子的正负，最后确定化简结果．方法归纳根式化简或求值的策略(1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论．跟踪训练1求下列各式的值：(1)323；(2)432；(3)838；(4)x2－2xy＋y2＋7y－x7.解析：(1)323＝－2；(2)432＝432＝3；-5-(3)838＝|3－π|＝π－3；(4)原式＝x－y2＋y－x＝|x－y|＋y－x.当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0；当xy时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)．所以原式＝0，x≥y，2y－xxy.(4)由根式被开方数正负讨论x≥y，xy两种情况．类型二根式与分数指数幂的互化例2(1)将分数指数幂a34(a0)化为根式为________；(2)化简：(a2·5a3)÷(a·10a9)＝________.(用分数指数幂表示)；(3)将下列根式与分数指数幂进行互化．①a3·3a2；②a－4b23ab2(a0，b0)．【解析】(1)a34＝1a34＝14a3(2)(a2·5a3)÷(a·10a9)＝(a2·a35)÷(a12·a910)＝a135÷a75＝a13755＝a65【答案】(1)14a3(2)a65(3)①a3·3a2＝a3·a23＝a23+3＝a113.②a－4b23ab2＝a－4b2ab213＝a－4b2a13b23＝a－113b83＝a－116b43.利用根式与分数指数幂的性质意义化为根式或分数指数幂．方法归纳根式与分数指数幂互化的方法及思路(1)方法：根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．(2)思路：在具体计算中，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指-6-数幂的运算性质解题．提醒：如果根式中含有多重根号，要由里向外用分数指数幂写出．,跟踪训练2下列根式与分数指数幂的互化正确的是()A．－x＝(－x)12(x0)B.6y2＝y13(y0)C．x34＝41x3(x0)D．x13＝－3x(x≠0)解析：－x＝－x12(x0)；6y2＝(y2)16＝－y13(y0)；x34＝(x－3)14＝41x3(x0)；x13＝1x13＝31x(x≠0)．答案：CA：－x先把x＝x12再加上－.B：注意y0.C：负指数次幂运算．类型三分数指数幂的运算与化简,,例3计算下列各式(式中字母都是正数)：(1)2350＋2－2×21412－(0.01)0.5；(2)2790.5＋0.1－2＋2102723－3π0＋3748；(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；(4)23a2÷46a·b·3b3.解析：(1)原式＝1＋14×4912－110012＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝25912＋110－2＋642723－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)-7-＝－13a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－13ac－1＝－a3c.(4)原式＝2a23÷4(a16b16)·(3b32)＝12a23－16·b－16·(3b32)＝32a12b43.①先进行指数运算，在进行指数运算时可将底数化成幂的形式，再利用幂的乘方进行运算；②对于零次幂，直接运用a0＝1(a≠0)得出结论；③底数为带分数的化成假分数，进而将底数化成幂的形式；④底数为小数的一般化成分数来运算；⑤先算乘方(开方)，再算乘除，最后算加减．方法归纳利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．跟踪训练3计算：(1)(－1.8)0＋32－2·33382－10.01＋93；(2)1412·4ab－130.1－2a3b－312(a0，b0)．解析：(1)原式＝1＋232·27823－10＋932＝1＋232·322－10＋27＝29－10＝19.-8-(2)原式＝412·0.12·23·a32·b－32a32·b－32＝2×1100×8＝425.先把根式化为分数指数幂再运用指数幂的运算法则计算．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．将3－22化为分数指数幂，其形式是()A．212B．－212C．212D．－212解析：3－22＝(－22)13＝(－2×212)13＝(－232)13＝－212.答案：B2．若a14(a－2)0有意义，则a的取值范围是()A．a≥0B．a＝2C．a≠2D．a≥0且a≠2解析：要使原式有意义，只需a≥0a－2≠0，∴a≥0且a≠2.答案：D3．化简－x3x的结果是()A．－－xB.xC．－xD.－x-9-解析：依题意知x0，所以－x3x＝－－x3x2＝－－x.答案：A4.a3a·5a4(a0)的值是()A．1B．aC．a15D．a1710解析：原式＝a3a12·a45＝a14325＝a1710.答案：D5．化简(36a9)4·(63a9)4的结果是()A．a16B．a8C．a4D．a2解析：(36a9)4·(63a9)4＝(6a9)43·(3a9)46＝(a96)43·(a93)23＝a9463·a9233＝a4.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6.23－2＋(1－2)0－33823－160.75＝________.解析：23－2＋(1－2)0－33823－160.75＝94＋1－27823－1634＝94＋1－32323－(24)34＝94＋1－94－8＝－7答案：－7-10-7．化简＝________.解析：原式＝＝a111326·b115236＝1a.答案：1a8．若10x＝2,10y＝3，则10342xy＝________.解析：由10x＝2,10y＝3，得103x2＝(10x)32＝232，102y＝(10y)2＝32，∴10342xy＝1032x102y＝23232＝229.答案：229三、解答题(每小题10分，共20分)9．用分数指数幂的形式表示下列各式(a0，b0)：(1)a2a；(2)3a2·a3；(3)(3a)2·ab3；(4)a26a5.解析：(1)原式＝a2a12＝a12+2＝a52.(2)原式＝a23·a32＝a2332＝a136.(3)原式＝(a13)2·(ab3)12＝a23·a12b32＝a2132b32＝a76b32.(4)原式＝a2·a56＝a52-6＝a76.10．计算下列各式：-11-(1)0.06413－－570＋[(－2)3]43＋16－0.75；(2)9412－(－9.6)0－－27823＋(－1.5)－2；(3)－33823＋0.00212－10(5－2)－1＋(5－2)0.解析：(1)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(2)原式＝32212－1－－32323＋－32－2＝23－1－－32－2＋－232＝12.(3)原式＝(－1)23·33823＋1500－12－105－2＋1＝27823＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.[能力提升](20分钟，40分)11．化简－a·3a的结果是()A.5－a2B．－6－a5C.6－a5D．－6a5解析：由题意可知a≤0，则－a·3a＝(－a)12·a13＝－(－a)12·(－a)13＝－(－a)56＝－6a5＝－6－a5.答案：B12．若x2＋2x＋1＋y2＋6y＋9＝0，则(x2019)y＝________.