2019-2020学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.2 平面与平面垂直的判

-1-2.3.2平面与平面垂直的判定知识导图学法指导1.平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊关系的认识，既可以从平面与平面的夹角为直角的角度讨论，又可以从已有的线面垂直关系出发进行推理论证．2．面面垂直源自线线垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法在解题时非常重要，一方面从条件入手，分析已有的垂直关系，另一方面从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而找到解决问题的途径．3．判定定理中的条件“一个平面经过另一个平面的一条垂线”既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用定理时，一定要注意定理的条件．高考导航1.求二面角是高考理科卷的常考内容，常与线面、面面位置关系综合在一起进行考查，以解答题的形式出现，分值5～10分．2．平面与平面垂直的判定定理，一般不会单独考查，通常和平行、夹角等知识综合考查，以选择题或解答题的一问的形式出现，分值5分.知识点一二面角1．二面角二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．-2-如图，记作：二面角α－l－β或二面角P－AB－Q或二面角P－l－Q范围0°≤θ≤180°2.二面角的平面角文字语言在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角图形语言符号语言α∩β＝l，O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB为二面角α－l－β的平面角作二面角的平面角的方法方法一(定义法)：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．方法二(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α－l－β的平面角．方法三(垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图③，∠AFE为二面角A－BC－D的平面角．知识点二平面与平面垂直-3-平面与平面垂直定义如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β画法通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图：判定定理文字表述：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．符号表示：a⊥βa⊂α⇒α⊥β定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若l⊥α，则过l有无数个平面与α垂直．()(2)两垂直的平面的二面角的平面角大小为90°.()答案：(1)√(2)√2.如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有()A．2对B．3对C．4对D．5对解析：由PA⊥矩形ABCD知，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD；由AB⊥平面-4-PAD知，平面PAB⊥平面PAD；由BC⊥平面PAB知，平面PBC⊥平面PAB；由DC⊥平面PAD知，平面PDC⊥平面PAD.故题图中互相垂直的平面有5对．选D.答案：D3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：因为AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面DBC.又因为AD⊂平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.故选D.答案：D4．对于直线m、n和平面α、β，能得出α⊥β的一个条件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析：取正方体ABCD－A1B1C1D1，连接AC，A1C1，把AD所在直线看作直线m，BB1所在直线看作直线n，把平面BB1C1C作为平面α，平面AA1C1C作为平面β.对于A虽满足m⊥n，m∥α，n∥β，但α不垂直于β，从而否定A.类似地可否定B和D.答案：C类型一求二面角-5-例1如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：(1)求二面角D′－AB－D的大小；(2)求二面角A′－AB－D的大小．【解析】(1)在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角．在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.(2)因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角．又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.找出二面角的平面角→证明所找的角即所求→计算该角的大小方法归纳求二面角平面角的常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：过二面角的一个平面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通用于求二面角的所有题目，具体步骤为：一找，二证，三求．跟踪训练1如图所示，α∩β＝CD，P为二面角内部一点．PA⊥α.PB⊥β，垂足分别为A，B.(1)证明：AB⊥CD；-6-(2)若△PAB为等边三角形，求二面角α－CD－β的大小．解析：(1)证明：∵PA⊥α，CD⊂α⇒PA⊥CD，PB⊥β，CD⊂β⇒PB⊥CD，PA∩PB＝P，∴CD⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴CD⊥AB.(2)∵△PAB为等边三角形，∴∠APB＝60°.故二面角α－CD－β的平面角为120°.(1)由α∩β＝CD，PA⊥α，PB⊥β推出CD⊥平面PAB，从而得出CD⊥AB；(2)可转化为求∠APB，再求出二面角的大小．类型二平面与平面垂直的判定例2如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC，求证：平面ABC⊥平面SBC.【证明】证法一：利用定义证明．∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，∴△ASB和△ASC是等边三角形，则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．如图，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS为二面角A－BC－S的平面角．在Rt△BSC中，∵SB＝SC＝a，∴SD＝22a，BD＝BC2＝22a.在Rt△ABD中，AD＝22a.在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2，∴∠ADS＝90°，即二面角A－BC－S为直二面角，-7-故平面ABC⊥平面SBC.证法二：利用判定定理．∵SA＝AB＝AC，∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．∵△BSC为直角三角形，∴A在△BSC上的射影D为斜边BC的中点．∴AD⊥平面SBC.又∵平面ABC过AD，∴平面ABC⊥平面SBC.方法一利用定义证明，求出平面ABC与平面SBC的平面角为90°.方法二利用平面与平面垂直的判定定理证明．方法归纳1．对平面与平面垂直的判定定理的认识平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”．因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题．2．证明平面与平面垂直的方法根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直．跟踪训练2如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝12AA1，D是棱AA1的中点．证明：平面BDC1⊥平面BDC.-8-证明：由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C.所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.要证明面面垂直，需证明线面垂直，由已知证明即可．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在空间四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是()A．平面ABD⊥平面BDCB．平面ABC⊥平面ABDC．平面ABC⊥平面ADCD．平面ABC⊥平面BED解析：由已知条件得AC⊥DE，AC⊥BE，于是有AC⊥平面BED，又AC⊂平面ABC，所以有平面ABC⊥平面BED成立．答案：D2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列说法正确的是()A．若m⊥n，则α⊥βB．若m∥n，则α⊥βC．若m⊥n，则α∥βD．若m∥n，则α∥β解析：若m⊥n，则α与β可以平行或相交，故A，C错误；若m∥n，则α⊥β，D错，选B.答案：B3．如图，已知PA垂直于△ABC所在平面，且∠ABC＝90°，连接PB，PC，则图形中互相垂直的平面有()-9-A．一对B．两对C．三对D．四对解析：由PA⊥平面ABC得平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，且PA⊥BC，又∠ABC＝90°，所以BC⊥平面PAB，从而平面PBC⊥平面PAB.故选C.答案：C4.如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为()A．90°B．60°C．45°D．30°解析：∵PA⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA⊥PA，CA⊥PA，因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角．又∠BAC＝90°，故选A.答案：A5．如图，设P是正方形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A．平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B．它们两两垂直C．平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直D．平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直解析：∵PA⊥平面ABCD，BC，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥BC，PA⊥AD.又∵BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB.-10-∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB＝A，得AD⊥平面PAB.∵AD⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.显然平面PAD与平面PBC不垂直．故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知四棱锥P－ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，则平面PBD与平面PAC的位置关系是________________________．解析：因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，在正方形ABCD中，BD⊥AC.又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.又BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAC.答案：平面PBD⊥平面PAC7．正四棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则侧面与底面所成二面角的大小为________．解析：如图，设S在底面内的射影为O，取AB的中点M，连接OM，SM，则∠SMO为所求二面角的平面角，在Rt△SOM中，OM＝12AD＝1，SM＝SA2－14AB2＝2，所以cos∠SMO＝OMSM＝22，所以∠SMO＝45°.答案：45°8．已知a，b，c为三条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若a⊂α，b⊂β，c⊂β，a⊥b，a⊥c，则α⊥β；③若a⊥α，b⊂β，a∥b，则α⊥β.其中正确的命题是________(填序号)．-11-解析：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记平面ADD1A1为α，平面ABCD为β，平面ABB1A1为γ，显然①错误；②只有在直线b