2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.1.2.2 指数函数及其性质的应用学案

-1-第2课时指数函数及其性质的应用[小试身手]1．下列函数中是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝1xB．y＝|x|C．y＝2xD．y＝x3解析：y＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除A；y＝|x|是偶函数，所以排除B；y＝2x为非奇非偶函数，所以排除C.选D.答案：D2．下列判断正确的是()A．1.51.5＞1.52B．0.52＜0.53C．e2＜2eD．0.90.2＞0.90.5解析：因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.2，所以0.90.2＞0.90.5.答案：D3．已知y1＝13x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为()解析：方法一y2＝3x与y4＝10x单调递增；y1＝13x与y3＝10－x＝110x单调递减，在第一象限内作直线x＝1，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.方法二y2＝3x与y4＝10x单调递增，且y4＝10x的图象上升得快，y1＝13x与y2＝3x的图象关于y轴对称，y3＝10－x与y4＝10x的图象关于y轴对称，所以选A.答案：A4．函数y＝222xx－的值域为________．-2-解析：令u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝2u≥2－1＝12，所以y＝222xx－的值域为12，＋∞.答案：12，＋∞类型一利用指数函数单调性比较大小例1(1)已知a＝0.771.2，b＝1.20.77，c＝π0，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．a＜c＜bD．c＜a＜b(2)已知a＝5－12，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)＞f(n)，则m，n的关系为()A．m＋n＜0B．m＋n＞0C．m＞nD．m＜n【解析】(1)a＝0.771.2,0＜a＜1，b＝1.20.77＞1，c＝π0＝1，则a＜c＜b.(2)因为0＜5－12＜1，所以f(x)＝ax＝5－12x在R上单调递减，又因为f(m)＞f(n)，所以m＜n，故选D.【答案】(1)C(2)D要比较大小，由指数函数的单调性入手．也可找中间量来比较．方法归纳比较幂值大小的三种类型及处理方法跟踪训练1比较下列各题中两个值的大小：-3-(1)57－1.8与57－2.5；(2)23－0.5与34－0.5；(3)0.20.3与0.30.2.解析：(1)因为0571，所以函数y＝57x在其定义域R上单调递减，又－1.8－2.5，所以57－1.857－2.5.(2)在同一平面直角坐标系中画出指数函数y＝23x与y＝34x的图象，如图所示．当x＝－0.5时，由图象观察可得23－0.534－0.5.(3)因为00.20.31，所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，所以0.20.20.30.2.又根据指数函数y＝0.2x的性质可得0.20.30.20.2，所以0.20.30.30.2.底数相同，指数不同；底数不同，指数相同；底数不同，指数不同．类型二解简单的指数不等式例2(1)不等式3x－2＞1的解为________；(2)若ax＋1＞1a5－3x(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．【解析】(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解为(2，＋∞)．(2)因为ax＋1＞1a5－3x，所以当a＞1时，y＝ax为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．【答案】(1)(2，＋∞)(2)见解析-4-首先确定指数不等式对应函数的单调性，然后根据单调性确定x的取值范围．方法归纳解指数不等式应注意的问题(1)形如axab的不等式，借助于函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论；(2)形如axb的不等式，注意将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助于函数y＝ax的单调性求解．跟踪训练2(1)解不等式1322x－≤3；(2)已知(a2＋2a＋3)x(a2＋2a＋3)1－x，求x的取值范围．解析：(1)1322x－＝(3－1)22x－＝322x－，∴原不等式等价于322x－≤31.∵y＝3x是R上的增函数，∴2－x2≤1.∴x2≥1，即x≥1或x≤－1.∴原不等式的解集是{x|x≥1或x≤－1}．(2)∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋21，∴y＝(a2＋2a＋3)x在R上是增函数．∴x1－x，解得x12.∴x的取值范围是xx12.(1)化成同底，确定指数函数的单调性．(2)判断a2＋2a＋3的范围．,类型三指数函数性质的综合应用例3已知函数f(x)＝a－12x＋1(x∈R)．(1)用定义证明：不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；(2)若f(x)为奇函数，求f(x)在区间[1,5]上的最小值．【解析】(1)证明：因为f(x)的定义域为R，任取x1x2，-5-则f(x1)－f(x2)＝＝.因为x1x2，所以21x－22x0，又(1＋21x)(1＋22x)0.所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)．所以不论a为何实数，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．(2)因为f(x)在x∈R上为奇函数，所以f(0)＝0，即a－120＋1＝0，解得a＝12.所以f(x)＝12－12x＋1，由(1)知，f(x)为增函数，所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为f(1)．因为f(1)＝12－13＝16，所以f(x)在区间[1,5]上的最小值为16.(1)用定义法证明函数的单调性需4步：①取值；②作差变形；③定号；④结论.(2)先由f(x)为奇函数求a，再由单调性求最小值．方法归纳(1)求解含参数的由指数函数复合而成的奇、偶函数中的参数问题，可利用奇、偶函数的定义，根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，结合指数运算性质建立方程求参数；(2)若奇函数在原点处有定义，则可利用f(0)＝0，建立方程求参数．跟踪训练3已知定义在R上的函数f(x)＝2x＋a2x，a为常数，若f(x)为偶函数，(1)求a的值；(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并用单调性定义给予证明；(3)求函数f(x)的值域．-6-解析：(1)由f(x)为偶函数得对任意实数x都有2x＋a2x＝12x＋a·2x成立，即2x(1－a)＝12x·(1－a)，所以1－a＝0，所以a＝1.(2)由(1)知f(x)＝2x＋12x，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．证明如下：任取x2，x2∈(0，＋∞)且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝21x＋12x1－22x＋122x＝(21x－22x)＋121x－122x＝(21x－22x)＋22x－21x21x·22x＝(21x－22x)1－121x＋2x＝(21x－22x)·212xx＋－1212xx＋，因为x1x2，且x1，x2∈(0，＋∞)，所以21x22x，212xx＋1，所以f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(3)由(2)知f(x)在[0，＋∞)上单调递增，又由f(x)为偶函数知函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)≥f(0)＝2.故函数f(x)的值域为[2，＋∞)．(1)由偶函数求a.(2)4步法证明f(x)在(0，＋∞)上的单调性．(3)利用单调性求最值，得值域．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列大小关系正确的是()A．0.4330.4π0B．0.43π030.4C．30.40.43π0D．π030.40.43解析：因为π0＝1,0.430.40＝1,30.430＝1，所以0.43π030.4，故选B.答案：B-7-2．设f(x)＝12|x|，x∈R，那么f(x)是()A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数解析：因为f(－x)＝12|－x|＝12|x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数．又当x0时，f(x)＝12x在(0，＋∞)上是减函数，故选D.答案：D3．已知1＞n＞m＞0，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象是()解析：由1＞n＞m＞0可知两曲线应为“下降”的曲线，故排除A，B，再由n＞m可知应选C.答案：C4．若122a＋1＜123－2a，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B.12，＋∞C．(－∞，1)D.－∞，12解析：函数y＝12x在R上为减函数，所以2a＋1＞3－2a，所以a＞12.答案：B5．设x＞0，且1＜bx＜ax，则()A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜aD．1＜a＜b解析：∵1＜bx，∴b0＜bx.又x＞0，∴b＞1.∵bx＜ax，∴abx＞1，又x＞0，∴ab＞1，∴a＞b，即1＜b＜a.-8-答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．三个数3737，3747，4737中，最大的是________，最小的是________．解析：因为函数y＝37x在R上是减函数，所以37373747，又在y轴右侧函数y＝37x的图象始终在函数y＝47x的图象的下方，所以47373737.即473737373747.答案：473737477．函数y＝12243xx－＋的单调增区间是________．解析：令t＝x2－4x＋3，则其对称轴为x＝2.当x≤2时，t随x增大而减小，则y增大，即y＝12243xx－＋的单调增区间为(－∞，2]．答案：(－∞，2]8．已知f(x)＝a－x(a0且a≠1)，且f(－2)f(－3)，则a的取值范围是________．解析：f(x)＝a－x＝1ax，∵f(－2)f(－3)，∴1a－21a－3，即a2a3.∴a1，即0a1.答案：(0,1)三、解答题(每小题10分，共20分)9．比较下列各组值的大小：(1)1.8－0.1与1.8－0.2；(2)1.90.3与0.73.1；(3)a1.3与a2.5(a0，且a≠1)．解析：(1)由于1.81，所以指数函数y＝1.8x，在R上为增函数．所以1.8－0.11.8－0.2.(2)因为1.90.31,0.73.11，所以1.90.30.73.1.-9-(3)当a1时，函数y＝ax是增函数，此时a1.3a2.5，当0a1时，函数y＝ax是减函数，此时a1.3a2.5.故当0a1时，a1.3a2.5，当a1时，a1.3a2.5.10．函数f(x)＝2＋xx－1的定义域为集合A，关于x的不等式122x2－a－x(a∈R)的解集为B，求使A∩B＝B的实数a的取值范围．解析：由2＋xx－1≥0，解得x≤－2或x1，于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞)，122x2－a－x⇔122x12a＋x⇔2xa＋x⇔xa，所以B＝(－∞，a)．因为A∩B＝B