2019-2020学年高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.2.2 对数函数及其性质的应用学案

-1-第2课时对数函数及其性质的应用[小试身手]1．若log3a0，13b1，则()A．a1，b0B．0a1，b0C．a1，b0D．0a1，b0解析：由函数＝log3x，y＝13x的图象知，0a1，b0.答案：D2．函数y＝2＋log2x(x≥2)的值域为()A．(3，＋∞)B．(－∞，3)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]解析：因为x≥2，所以log2x≥1，所以y≥3.答案：C3．已知f(x)＝log3x，则f14，f12，f(2)的大小关系是()A．f14f12f(2)B．f14f12f(2)C．f14f(2)f12D．f(2)f14f12解析：因为f(x)＝log3x，所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．又因为21214，所以f(2)f12f14.答案：B4．函数y＝lg|x|()A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．答案：B-2-类型一比较数值的大小例1(1)设a＝log2π，b＝log12π，c＝π－2，则()A．abcB．bacC．acbD．cba(2)比较下列各组值的大小：①log230.5，log230.6;②log1.51.6，log1.51.4；③log0.57，log0.67;④log3π，log20.8.【解析】(1)a＝log2π1，b＝log12π0，c＝π－2∈(0,1)，所以acb.(2)①因为函数y＝log23x是减函数，且0.50.6，所以log230.5log230.6.②因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.61.4，所以log1.51.6log1.51.4.③因为0log70.6log70.5，所以1log70.61log70.5，即log0.67log0.57.④因为log3πlog31＝0，log20.8log21＝0，所以log3πlog20.8.【答案】(1)C(2)①log230.5log230.6.②log1.51.6log1.51.4.③log0.67log0.57.④log3πlog20.8.(1)选择中间量0和1，比较大小．(2)①②③利用对数函数的单调性比较大小．④用中间量1比较大小．方法归纳比较对数值大小时常用的三种方法跟踪训练1比较下列各组对数值的大小：(1)log151.6与log152.9；(2)log21.7与log23.5；-3-(3)log123与log153；(4)log130.3与log20.8.解析：(1)∵y＝log15x在(0，＋∞)上单调递减，1.62.9，∴log151.6log152.9.(2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，而1.73.5，∴log21.7log23.5.(3)借助y＝log12x及y＝log15x的图象，如图所示．在(1，＋∞)上，前者在后者的下方，∴log123log153.(4)由对数函数性质知，log130.30，log20.80，∴log130.3log20.8.(1)、(2)同底数．(3)底数不同、真数相同．(4)底数与真数都不同．类型二解对数不等式例2(1)已知log0.72xlog0.7(x－1)，则x的取值范围为________；(2)已知loga(x－1)≥loga(3－x)(a0，且a≠1)，求x的取值范围．【解析】(1)∵函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，∴由log0.72xlog0.7(x－1)得2x0，x－10，2xx－1，解得x1，-4-即x的取值范围是(1，＋∞)．(2)loga(x－1)≥loga(3－x)，当a1时，有x－10，3－x0，x－1≥3－x，解得2≤x3.当0a1时，有x－10，3－x0，x－1≤3－x，解得1x≤2.综上可得，当a1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)中x的取值范围为[2,3)；当0a1时，不等式loga(x－1)≥loga(3－x)(a0且a≠1)中x的取值范围是(1,2]．【答案】(1)(1，＋∞)(2)答案见解析(1)利用函数y＝log0.7x的单调性求解．(2)分a1和0a1两种情况讨论，解不等式．方法归纳两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)logag(x)的不等式．①当0a1时，可转化为f(x)g(x)0；②当a1时，可转化为0f(x)g(x)．(2)形如logaf(x)b的不等式可变形为logaf(x)b＝logaab.①当0a1时，可转化为f(x)ab；②当a1时，可转化为0f(x)ab.跟踪训练2(1)满足不等式log3x1的x的取值集合为________；(2)根据下列各式，确定实数a的取值范围：①log1.5(2a)log1.5(a－1)；②log0.5(a＋1)log0.5(3－a)．解析：(1)因为log3x1＝log33，所以x满足的条件为x0，log3xlog33，即0x3.所以x的取值集合为{x|0x3}．(2)①函数y＝log1.5x在(0，＋∞)上是增函数．-5-因为log1.5(2a)log1.5(a－1)，所以2aa－1，a－10，解得a1，即实数a的取值范围是(1，＋∞)．②函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，因为log0.5(a＋1)log0.5(3－a)，所以a＋10，3－a0，a＋13－a，解得－1a1.即实数a的取值范围是(－1,1)．答案：(1){x|0x3}(2)①(1，＋∞)②(－1,1)(1)log33＝1.(2)由对数函数的单调性求解．,类型三对数函数性质的综合应用例3已知函数f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为－2，求实数a的值．【解析】(1)由题意得1＋x0，3－x0，解得－1x3，所以函数f(x)的定义域为(－1,3)．(2)因为f(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]＝loga(－x2＋2x＋3)＝loga[－(x－1)2＋4]，若0a1，则当x＝1时，f(x)有最小值loga4，所以loga4＝－2，a－2＝4，又0a1，所以a＝12.若a1，则当x＝1时，f(x)有最大值loga4，f(x)无最小值．综上可知，a＝12.(1)真数大于0.(2)分0a1，a1两类讨论．方法归纳1．解答y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数需注意的问题-6-①要注意变量的取值范围．例如，f(x)＝log2x，g(x)＝x2＋x，则f(g(x))＝log2(x2＋x)中需要g(x)0；g(f(x))＝(log2x)2＋log2x中需要x0.②判断y＝logaf(x)型或y＝f(logax)型函数的奇偶性，首先要注意函数中变量的范围，再利用奇偶性定义判断．2．形如y＝logaf(x)的函数的单调性判断首先要确保f(x)0，当a1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)0的前提下与y＝f(x)的单调性一致．当0a1时，y＝logaf(x)的单调性在f(x)0的前提下与y＝(x)的单调性相反．,跟踪训练3已知函数f(x)＝log2(1＋x2)．求证：(1)函数f(x)是偶函数；(2)函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．证明：(1)函数f(x)的定义域是R，f(－x)＝log2[1＋(－x)2]＝log2(1＋x2)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2)设0x1x2，则f(x1)－f(x2)＝log2(1＋x21)－log2(1＋x22)＝log21＋x211＋x22，由于0x1x2，则0x21x22，则01＋x211＋x22，所以01＋x211＋x221.又函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，所以log21＋x211＋x220.所以f(x1)f(x2)．所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．,(1)函数是偶函数，f(－x)＝f(x)．(2)用定义法证明函数是增函数．-7-[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．设a＝log0.50.9，b＝log1.10.9，c＝1.10.9，则a，b，c的大小关系为()A．abcB．bacC．bcaD．acb解析：因为0＝log0.51a＝log0.50.9log0.50.5＝1，b＝log1.10.9log1.11＝0，c＝1.10.91.10＝1，所以bac，故选B.答案：B2．若loga341(a0，且a≠1)，则实数a的取值范围是()A.0，34B.0，34∪(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)解析：当a1时，loga3401，成立．当0a1时，y＝logax为减函数．由loga341＝logaa，得0a34.综上所述，0a34或a1.答案：B3．函数y＝log0.4(－x2＋3x＋4)的值域是()A．(0,2]B．[－2，＋∞)C．(－∞，－2]D．[2，＋∞)解析：－x2＋3x＋4＝－x－322＋254≤254，又－x2＋3x＋40，则0－x2＋3x＋4≤254，函数y＝log0.4x为(0，＋∞)上的减函数，则y＝log0.4(－x2＋3x＋4)≥log0.4254＝－2，函数的值域为[－2，＋∞)．-8-答案：B4．当a1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象是()解析：∵a1，∴函数y＝a－x的图象过点(0,1)且递减，函数y＝logax的图象过点(1,0)且递增，故选A.答案：A5．如图所示，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是()A．{x|－1x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1x≤1}D．{x|－1x≤2}解析：在平面直角坐标系中作出函数y＝log2(x＋1)的大致图象如图所示．所以f(x)≥log2(x＋1)的解集是{x|－1x≤1}．答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数f(x)＝log3(4x－x2)的递增区间是________．解析：由4x－x20得0x4，函数y＝log3(4x－x2)的定义域为(0,4)．令u＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，当x∈(0,2]时，u＝4x－x2是增函数，当x∈(2,4)时，u＝4x－x2是减函数．又∵y＝log3u是增函数，-9-∴函数y＝log3(4x－x2)的增区间为(0,2]．答案：(0,2]7．已知函数f(x)＝log2a－x1＋x为奇函数，则实数a的值为________．解析：由奇函数得f(x)＝－f(－x)，log2a－x1＋x＝－log2a＋x1－x，a－x1＋x＝1－xa＋x，a2＝1，因为a≠－1，所以a＝1.答案：18．如果函数f(x)＝(3－a)x与g(x)＝logax的增减性相同，则实数a的取值范围是________．解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则3－a1，a1，则1a2；若f(x)，g(x)均为减函数，则03－a1，0a1，无解．答案：(1,2)三、解答题(每小题10分，共20分)9．求函数y＝(log12x)2－12log12x＋5在区间[2,