2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.2.2 向量减法运算及其几何意义学案（含解析）

-1-第2课时向量减法运算及其几何意义1.相反向量与a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a.(1)零向量的相反向量仍是零向量，即－0＝0.(2)任一向量与其相反向量的和是零向量，即a＋(－a)＝0.(3)如果a，b是互为相反的向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.2．向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．(2)几何意义：已知a，b，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则BA→＝a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．状元随笔1.准确理解向量减法的几何意义(1)向量减法是向量加法的逆运算．设x→＋b→＝a→，则x→＝a→－b→，如图，设OA→＝a→，OB→＝b→.由向量加法的三角形法则可知OA→＝OB→＋BA→，∴BA→＝OA→－OB→＝a→－b→.(2)对于两个共起点的向量，它们的差就是连接这两个向量的终点，方向指向被减的向量．(3)以向量AB→＝a→，AD→＝b→为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC→＝a→＋b→，BD→＝b→－a→，DB→＝a→－b→.-2-2．若a→，b→是不共线向量，|a→＋b→|与|a→－b→|的几何意义比较，如图所示，设OA→＝a→，OB→＝b→.根据向量加法的平行四边形法则和向量减法的三角形法则，有OC→＝a→＋b→，BA→＝a→－b→.因为四边形OACB是平行四边形，所以|a→＋b→|＝|OC→|，|a→－b→|＝|BA→|分别是以OA，OB为邻边的平行四边形的两条对角线的长．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两向量首尾相连，和向量由第一个向量的始点指向第二个向量的终点．()(2)向量a－b当它们起点重合时可以看作从向量b的终点指向向量a的终点的向量．()(3)向量加法的运算律同样适用于向量的减法运算．()答案：(1)√(2)√(3)√2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()A．m＝nB．m＝－nC．|m|＝|n|D．方向相反解析：零向量m与n是相反向量，则有m＝－n，|m|＝|n|.答案：A3．在三角形ABC中，BC→＝a，CA→＝b，则AB→＝()A．a－bB．b－aC．a＋bD．－a－b解析：AB→＝CB→－CA→＝－BC→－CA→＝－a－b.答案：D4.PA→－PB→＝________.解析：PA→－PB→＝BA→.答案：BA→类型一已知向量作差向量例1如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.-3-【解析】方法一如图①，在平面内任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，连接BC，则CB→＝b－c.过点A作AD綊BC，连接OD，则AD→＝b－c，所以OD→＝OA→＋AD→＝a＋b－c.方法二如图②，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，连接OB，则OB→＝a＋b，再作OC→＝c，连接CB，则CB→＝a＋b－c.方法三如图③，在平面内任取一点O，作OA→＝a，AB→＝b，连接OB，则OB→＝a＋b，再作CB→＝c，连接OC，则OC→＝a＋b－c.方法归纳求作两个向量的差向量的两种思路(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．跟踪训练1如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.-4-解析：如图所示，以A为起点分别作向量AB→和AC→，使AB→＝a，AC→＝b.连接CB，得向量CB→＝a－b，再以C为起点作向量CD→，使CD→＝c，连接DB，得向量DB→＝(a－b)－c.则向量DB→即为所求作的向量a－b－c.先作a→－b→，再作a→－b→－c→.类型二向量的减法运算例2化简(AB→－CD→)－(AC→－BD→)．【解析】方法一(统一成加法)(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝AB→＋DC→＋CA→＋BD→＝AB→＋BD→＋DC→＋CA→＝AD→＋DA→＝0.方法二(利用OA→－OB→＝BA→)(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(AB→－AC→)－CD→＋BD→＝CB→－CD→＋BD→＝DB→＋BD→＝0.方法三(利用AB→＝OB→－OA→)设O是平面内任意一点，则(AB→－CD→)－(AC→－BD→)＝AB→－CD→－AC→＋BD→＝(OB→－OA→)－(OD→－OC→)－(OC→－OA→)＋(OD→－OB→)＝OB→－OA→－OD→＋OC→－OC→＋OA→＋OD→－OB→＝0.方法归纳1．向量减法运算的常用方法-5-2．向量加减法化简的两种形式(1)首尾相连且为和．(2)起点相同且为差．解题时要注意观察是否有这两种形式，同时注意逆向应用．跟踪训练2在四边形ABCD中，AB→－DC→－CB→＝________.解析：AB→－DC→－CB→＝AB→＋CD→＋BC→＝(AB→＋BC→)＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→.答案：AD→结合图形利用减法运算法则求．类型三利用已知向量表示未知向量例3如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且AB→＝a，AC→＝b，AE→＝c，试用向量a，b，c表示向量CD→，BC→，BD→.【解析】因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，故BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.由平行四边形的性质可知CD→＝AE→＝c→，由向量的减法可知：BC→＝AC→－AB→，由向量的加法可知BD→＝BC→＋CD→.方法归纳利用已知向量表示其他向量的思路解决这类问题时，要根据图形的几何性质，正确运用向量加法、减法和共线(相等)向量，要注意向量的方向及运算式中向量之间的关系．当运用三角形法则时，要注意两个向量首尾顺次相接，当两个向量共起点时，可以考虑用减法．-6-常用结论：任意一个非零向量一定可以表示为两个不共线向量的和(差)，即AM→＝AB→＋BM→以及AB→＝NB→－NA→(M，N均是同一平面内的任意点)．跟踪训练3本例中的条件“点B是该平行四边形外一点”若换为“点B是该平行四边形内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？解析：如图，因为四边形ACDE是平行四边形，所以CD→＝AE→＝c，BC→＝AC→－AB→＝b－a，BD→＝BC→＋CD→＝b－a＋c.第一步：观察各向量的位置．第二步：寻找(或作)相应的平行四边形或三角形．第三步：运用法则找关系．第四步：化简结果．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列运算中正确的是()A.OA→－OB→＝AB→B.AB→－CD→＝DB→C.OA→－OB→＝BA→D.AB→－AB→＝0解析：根据向量减法的几何意义，知OA→－OB→＝BA→，所以C正确，A错误；B显然错误；对于D，AB→－AB→应该等于0，而不是0.答案：C2．下列四式中不能化简为PQ→的是()A.AB→＋(PA→＋BQ→)B．(AB→＋PC→)＋(BA→－QC→)-7-C.QC→－QP→＋CQ→D.PA→＋AB→－BQ→解析：D中，PA→＋AB→－BQ→＝PB→－BQ→＝PB→＋QB→不能化简为PQ→，其余选项皆可．答案：D3．在△ABC中，D是BC边上的一点，则AD→－AC→等于()A.CB→B.BC→C.CD→D.DC→解析：在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减法的几何意义可得AD→－AC→＝CD→.答案：C4．如图，在四边形ABCD中，设AB→＝a，AD→＝b，BC→＝c，则DC→＝()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c解析：DC→＝DA→＋AB→＋BC→＝a－b＋c.答案：A5．给出下列各式：①AB→＋CA→＋BC→；②AB→－CD→＋BD→－AC→；③AD→－OD→－AO→；④NQ→－MP→＋QP→＋MN→.对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是()A．4B．3C．2D．1-8-解析：①AB→＋CA→＋BC→＝AC→＋CA→＝0；②AB→－CD→＋BD→－AC→＝AB→＋BD→－(AC→＋CD→)＝AD→－AD→＝0；③AD→－OD→－AO→＝AD→＋DO→＋OA→＝AO→＋OA→＝0；④NQ→－MP→＋QP→＋MN→＝NQ→＋QP→＋MN→－MP→＝NP→＋PN→＝0.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6.EF→＋DE→－DB→＝________.解析：EF→＋DE→－DB→＝EF→＋BE→＝BF→.答案：BF→7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝________，|a－b|＝________.解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b，所以|a|＝|－b|＝1，因为a与－b共线同向，所以|a－b|＝2.答案：028．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，且|BC→|＝4，|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，则|AM→|＝________.解析：以AB，AC为邻边作平行四边形ACDB，由向量加减法几何意义可知，AD→＝AB→＋AC→，CB→＝AB→－AC→，∵|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|，平行四边形ABCD为矩形，∴|AD→|＝|CB→|，又|BC→|＝4，M是线段BC的中点，∴|AM→|＝12|AD→|＝12|BC→|＝2.答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.解析：在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，OB→＝b，则向量a－b＝BA→，再作向量BC→＝c，则向量CA→＝a－b－c.-9-10．化简下列各式：(1)(AB→＋MB→)＋(－OB→－MO→)；(2)AB→－AD→－DC→.解析：(1)方法一原式＝AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝(AB→＋BO→)＋(OM→＋MB→)＝AO→＋OB→＝AB→.方法二原式＝AB→＋MB→＋BO→＋OM→＝AB→＋(MB→＋BO→)＋OM→＝AB→＋MO→＋OM→＝AB→＋0＝AB→.(2)方法一原式＝DB→－DC→＝CB→.方法二原式＝AB→－(AD→＋DC→)＝AB→－AC→＝CB→.[能力提升](20分钟，40分)11．平面内有三点A，B，C，设m＝AB→＋BC→，n＝AB→－BC→，若|m|＝|n|，则有()A．A，B，C三点必在同一直线上B．△ABC必为等腰三角形且∠ABC为顶角C．△ABC必为直角三角形且∠ABC＝90°D．△ABC必为等腰直角三角形解析：如图，作AD→＝BC→，则ABCD为平行四边形，从而m＝AB→＋BC→＝AC→，n＝AB→－BC→＝AB→－AD→＝DB→.因为|m|＝|n|，所以|AC→|＝|DB→|.所以四边形ABCD是矩形，所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.答案：C-10-12．给出下列命题：①若OD→＋OE→＝OM→，则OM→－OE→＝OD→；②若OD→＋OE→＝OM→，则OM→＋DO→＝OE→；③若OD→＋OE→＝OM→，则OD→－EO→＝OM→；④若OD→＋OE→＝OM→，则DO→＋EO→＝MO→.其中正确命题的序号为________．解析：①因为OD→＋OE→＝OM→，所以OD→＝OM→－OE→，正确；②OM→－OD→＝OE→，所以OM→＋DO→＝OE→，正确；③因为OE→＝－EO→，所以OD→－EO→＝OM→，正确；④－OM→＝－OD→－OE→，所以MO→＝DO→＋EO→，正确．答案：①②③④13.如图，解答下列各题：(1)用a，d，e表示DB→；(2)用b，c表示DB→；(3)用a，b，e表示EC→；(4)用d，c表示EC→.解析：由题意知，AB→＝a，BC→＝b，CD→＝c，DE→＝d，EA→＝e，则(1)DB→＝DE→＋EA→＋AB→＝a＋d＋e.(2)DB→＝CB→－CD→＝－BC→－CD→＝－b－c.-11-(3)EC→＝EA→＋AB→