2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.1.1.1 集合的含义学案（含解析）新人

-1-第1课时集合的含义知识点一集合的含义1．元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合．3．元素与集合的符号表示表示元素：通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示.集合：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.1．集合含义中的“研究对象”指的是集合的元素，研究集合问题的核心即研究集合中的元素，因此在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么．集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．知识点二集合中元素的特征与集合相等1．集合中元素的特征特征含义确定性集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定的．它是判断一组对象是否构成集合的标准互异性给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同一个元素不能重复出现无序性集合中的元素无先后顺序之分2.集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．例如，集合{－1,1}与集合{1，－1}是相等的．知识点三元素与集合的关系关系语言描述记法示例a属于集合Aa是集合A中的元素a∈A若A表示由“世界四大洋”组成的集合，则太平洋∈A，长江∉Aa不属于集合Aa不是集合A中的元素a∉A2．对元素和集合之间关系的两点说明-2-(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．知识点四常用数集及符号表示常用数集的字母表示常用数集简称记法全体非负整数的集合非负整数集(或自然数集)N所有正整数的集合正整数集N*或N＋全体整数的集合整数集Z全体有理数的集合有理数集Q全体实数的集合实数集R3．准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)你班所有的姓氏能组成集合．()(2)新课标数学人教A版必修1课本上的所有难题能组成集合．()(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．()答案：(1)√(2)×(3)×2．下列各项中，不能组成集合的是()A．所有的正数B．所有的老人C．不等于0的数D．我国古代四大发明解析：“老人”无明确的标准，对于某个人是否“老”无法客观地判断，因此“所有的老人”不能构成集合，故选B.答案：B-3-3．已知集合A由x1的数构成，则有()A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1∉A解析：很明显3,1不满足不等式，而0，－1满足不等式．答案：C4．下列三个命题：①集合N中最小的数是1；②－a∉N，则a∈N；③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2.其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：根据自然数的特点，显然①③不正确．②中若a＝32，则－a∉N且a∉N，显然②不正确．答案：A类型一集合的概念例1下列对象能构成集合的是()A．高一年级全体较胖的学生B．sin30°，sin45°，cos60°，1C．全体很大的自然数D．平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点【解析】由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A，C不能构成集合；B中由于sin30°＝cos60°不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.【答案】D构成集合的元素具有确定性．方法归纳,判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1下列各项中，不可以组成集合的是()A．所有的负数B．等于2的数C．接近于0的数D．不等于0的偶数解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成集合．故选C.答案：C-4-C中元素不确定．类型二元素与集合的关系例2(1)下列关系中，正确的有()①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是()A．0B．1C．2D．3【解析】(1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误．(2)∵a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N，若a＝0，则4－a＝4，此时A＝{0,4}满足要求；若a＝1，则4－a＝3，此时A＝{1,3}满足要求；若a＝2，则4－a＝2，此时A＝{2}不满足要求．故有且只有2个元素的集合A有2个，故选C.【答案】(1)C(2)Ca分类处理：①a＝0，a＝1，a＝2；②a＝3，a＝4还讨论吗？方法归纳判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可．此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．,跟踪训练2下列说法正确的是()A．0∉NB.2∈QC．π∉RD.4∈Z解析：A.N为自然数集，0是自然数，故本选项错误；B.2是无理数，Q是有理数集合，-5-2∉Q，故本选项错误；C.π是实数，即π∈R，故本选项错误；D.4＝2,2是正整数，则4∈Z，故本选项正确．故选D.答案：DN自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集．类型三集合元素的特性例3已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．【解析】因为－3∈A，A＝{a－3,2a－1}，所以a－3＝－3或2a－1＝－3.若a－3＝－3，则a＝0，此时集合A＝{－3，－1}，符合题意．若2a－1＝－3，则a＝－1，此时集合A＝{－4，－3}，符合题意．综上可知，满足题意的实数a的值为0或－1.首先根据－3∈A，求a的所有可能取值，然后根据元素的互异性逐个检验，最后确定实数a的值．方法归纳由集合中元素的特性求解字母取值(范围)的步骤跟踪训练3(1)若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形(2)已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．解析：(1)由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.(2)若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素．所以a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1.答案：(1)D(2)－1-6-由元素互异性知边不能相等．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列能构成集合的是()A．中央电视台著名节目主持人B．我市跑得快的汽车C．上海市所有的中学生D．香港的高楼解析：A，B，D中研究的对象不确定，因此不能构成集合．答案：C2．由形如x＝3k＋1，k∈Z的数组成集合A，则下列表示正确的是()A．－1∈AB．－11∈AC．15∈AD．32∈A解析：－11＝3×(－4)＋1，故选B.答案：B3．已知集合A中元素x满足－5≤x≤5，且x∈N*，则必有()A．－1∈AB．0∈AC.3∈AD．1∈A解析：x∈N*，且－5≤x≤5，所以x＝1,2.所以1∈A.答案：D4．设A是方程x2－ax－5＝0的解集，且－5∈A，则实数a的值为()A．－4B．4C．1D．－1解析：因为－5∈A，所以(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4.故选A.答案：A5．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形-7-解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．判断下列说法正确的是________．(1)某个单位里的年轻人组成一个集合；(2)1，32，64，－12，12这些数组成的集合含有五个元素；(3)由a，b，c组成的集合与由b，a，c组成的集合是同一个集合；(4)方程(x－3)(x－2)2＝0的解组成的集合有3个元素．解析：(1)不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能组成集合．(2)不正确．根据互异性知，这个集合是由三个元素1，32，12组成的．(3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们表示同一个集合．(4)不正确．方程(x－3)(x－2)2＝0的解是x1＝3，x2＝x3＝2，因此写成集合时只有3和2两个元素．答案：(3)7．给出下列关系：(1)13∈R；(2)5∈Q；(3)－3∉Z；(4)－3∉N，其中正确的是________．解析：13是实数，(1)正确；5是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误；－3是无理数，(4)正确．答案：(1)(4)8．已知集合A含有三个元素1,0，x，若x2∈A，则实数x＝________.解析：因为x2∈A，所以x2＝1，或x2＝0，或x2＝x，所以x＝±1，或x＝0.当x＝0，或x＝1时，不满足集合中元素的互异性，所以x＝－1.答案：－1三、解答题(每小题10分，共20分)9．判断下列说法是否正确？并说明理由．(1)大于3的所有自然数组成一个集合；(2)未来世界的高科技产品构成一个集合；(3)1,0.5，32，12组成的集合含有四个元素；(4)接近于0的数的全体组成一个集合．解析：(1)中的对象是确定的，互异的，所以可构成一个集合，故(1)正确；(2)和(4)中-8-的“高科技”、“接近于0”都是标准不确定的，所以不能构成集合，故(2)、(4)错误；由于0.5＝12，所以1,0.5，32，12组成的集合含有3个元素，故(3)错误．10．数集A满足条件：若a∈A，则1＋a1－a∈A(a≠1)．若13∈A，求集合中的其他元素．解析：因为13∈A，所以1＋131－13＝2∈A，所以1＋21－2＝－3∈A，所以1－31＋3＝－12∈A，所以1－121＋12＝13∈A.故当13∈A时，集合中的其他元素为2，－3，－12.[能力提升](20分钟，40分)11．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为()A．2B．2或4C．4D．0解析：集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，a＝2∈A,6－a＝4∈A，所以a＝2，或者a＝4∈A,6－a＝2∈A，所以a＝4，综上所述，a＝2或4.故选B.答案：B12．设直线y＝2x＋3上的点集为P，点(2,7)与点集P的关系为(2,7)________P(填“∈”或“∉”)．解析：直线y＝2x＋3上的点的横坐标x和纵坐标y具有y＝2x＋3的关系，即只要具备此关系的点就是集合P的元素．由于当x＝2时，y＝2×2＋3＝7，故(2,7)∈P.答案：∈13．设A是由满足不等式x6的自然数组成的集合，若a∈A且3a∈A，求a的值．-9-解析：因为a∈A且3a∈A，所以a6，3a6，解得a2.又a∈N，所以a＝0或1.14．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且ab∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．解析：数集N，Z不是“闭集”，数集Q，R是“闭集”．例如，3∈N,2∈N，而32＝1.5∉N；3∈Z，－2∈Z，而3－2＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集．由于两个有理数a与b的和，差，积，商，即a±b，ab，ab(b≠0)仍是有理数，故Q是闭集．同理R也是闭集．