2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.2.2.1 函数的表示法学案（含解析）新

-1-1.2.2函数的表示法课标要点课标要点学考要求高考要求1.函数的解析法表示bb2.函数的图象法表示bc3.函数的列表法表示aa4.分段函数bb知识导图学法指导1.函数的三种表示法体现了“式”“表”“图”的不同形态，特别是“式”与“图”的结合，体现了数形结合思想，学习过程中注意把它们相互结合，特别要注意加强“式”与“图”的相互转化，从不同的侧面认识函数的本质．2．学习分段函数，要结合实例体会概念，还要注意书写规范．第1课时函数的表示法,知识点函数的表示法-2-三种表示方法的优缺点比较优点缺点解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系；二是可以通过用解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观，而且并不是所有的函数都可以用解析式表示列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值它只能表示自变量取较少的有限值的对应关系图象法直观形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图象研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用解析法表示．()(2)函数f(x)＝2x＋1不能用列表法表示．()(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()答案：(1)×(2)√(3)×2．购买某种饮料x听，所需钱数为y元，若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为()A．y＝2xB．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…})D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})解析：题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.-3-答案：D3．已知函数f(2x＋1)＝6x＋5，则f(x)的解析式是()A．3x＋2B．3x＋1C．3x－1D．3x＋4解析：方法一令2x＋1＝t，则x＝t－12.∴f(t)＝6×t－12＋5＝3t＋2.∴f(x)＝3x＋2.方法二∵f(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2.∴f(x)＝3x＋2.答案：A4．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x123f(x)211x123g(x)321则f(g(1))的值为________．当g(f(x))＝2时，x＝________.解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.答案：11类型一函数的表示方法例1(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()-4-(2)已知函数f(x)按下表给出，满足f[f(x)]f(3)的x的值为________.x123f(x)231【解析】(1)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.(2)由表格可知f(3)＝1，故f[f(x)]f(3)即为f[f(x)]1.∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.【答案】(1)D(2)3或1(1)由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律．(2)观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较．方法归纳理解函数的表示法应关注三点(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．跟踪训练1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．解析：(1)列表法：x/台12345678910y/元30006000900012000150001800021000240002700030000(2)图象法：如图所示．-5-(3)解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．类型二求函数的解析式例2根据下列条件，求函数的解析式：(1)已知f1x＝x1－x2，求f(x)；(2)f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，求f(x)．【解析】(1)设t＝1x，则x＝1t(t≠0)，代入f1x＝x1－x2，得f(t)＝1t1－1t2＝tt2－1，故f(x)＝xx2－1(x≠0且x≠±1)．(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3.所以4a＋2b＋c＝－3，4a－2b＋c＝－7，c＝－3.解得a＝－12，b＝1，c＝－3.所以f(x)＝－12x2＋x－3.(1)换元法：设1x＝t，注意新元的范围．(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax2＋bx＋c.跟踪训练2(1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________；(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.解析：(1)因为f(x2＋2)＝x4＋4x2＝(x2＋2)2－4，-6-令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)．(2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.所以a2＝4，ab＋b＝－1，解得a＝2，b＝－13或a＝－2，b＝1.所以f(x)＝2x－13或f(x)＝－2x＋1.答案：(1)f(x)＝x2－4(x≥2)(2)2x－13或－2x＋1(1)换元法：设x2＋2＝t.(2)待定系数法：设f(x)＝ax＋b.类型三函数的图象例3作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3))．【解析】(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．(2)因为0≤x3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x3之间的一部分，如图(2)所示.(1)定义域x∈Z.(2)二次函数的图象既要找到几个关键点，又要注意定义域x∈[0,3)．-7-方法归纳作函数图象的基本步骤(1)列表：取自变量的若干个值，求出相应的函数值，并列表表示；(2)描点：在平面直角坐标系中描出表中相应的点；(3)连线：用平滑的曲线将描出的点连接起来，得到函数图象．跟踪训练3作出下列函数的图象：(1)y＝－x＋1，x∈Z；(2)y＝2x2－4x－3,0≤x3；(3)y＝|1－x|.解析：(1)函数y＝－x＋1，x∈Z的图象是直线y＝－x＋1上所有横坐标为整数的点，如图(a)所示．(2)由于0≤x3，故函数的图象是抛物线y＝2x2－4x－3介于0≤x3之间的部分，如图(b)．(3)因为y＝|1－x|＝x－1，x≥1，1－x，x1，故其图象是由两条射线组成的折线，如图(c)．先求对称轴及顶点，再注意x的取值(部分图象)．关键是根据x的取值去绝对值．-8-[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．已知f(x－1)＝1x＋1，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝11＋xB．f(x)＝1＋xxC．f(x)＝1x＋2D．f(x)＝1＋x解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝1t＋1＋1＝12＋t，∴f(x)＝1x＋2.答案：C2．星期天，小明从家出发，出去散步，图中描述了他散步过程中离家的距离s(m)与散步所用的时间t(min)之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合小明散步情况的是()A．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了B．从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了C．从家出发，散了一会儿步(没有停留)，然后回家了D．从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18min后才回家解析：水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段，然后回家了．答案：B3．将函数y＝2(x＋1)2－3的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的图象对应的函数解析式为()A．y＝2(x＋2)2－6B．y＝2x2－6C．y＝2x2D．y＝2(x＋2)2解析：根据函数图象的平移原则——“左加右减，上加下减”，可知平移后的图象对应-9-的解析式为y＝2[(x－1)＋1]2－3＋3＝2x2.答案：C4．已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))等于()x1234f(x)3241A.1B．2C．3D．4解析：∵f(3)＝4，∴f(f(3))＝f(4)＝1.答案：A5．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的解析式是()A．g(x)＝2x＋1B．g(x)＝2x－1C．g(x)＝2x－3D．g(x)＝2x＋7解析：因为g(x＋2)＝f(x)＝2x＋3，所以令x＋2＝t，则x＝t－2，g(t)＝2(t－2)＋3＝2t－1.所以g(x)＝2x－1.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(0)]＝________.解析：由图象可知f(0)＝4，f(4)＝2，f[f(0)]＝2.答案：27．已知x≠0，函数f(x)满足fx－1x＝x2＋1x2，则f(x)＝________.解析：fx－1x＝x2＋1x2＝x－1x2＋2，所以f(x)＝x2＋2.答案：x2＋28．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝________.解析：因为f(2x＋1)＝32(2x＋1)＋12，所以f(a)＝32a＋12.又f(a)＝4，所以32a＋12＝4，a＝73.-10-答案：73三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，求f1f3的值．解析：由f(3)＝1得1f3＝1，故f1f3＝f(1)＝2.10．已知函数f(x)＝x2＋px＋q且满足f(－1)＝f(2)＝0，求函数f(x)的解析式．解析：因为f(－1)＝f(2)＝0，所以有1－p＋q＝0，4＋2p＋q＝0，解得p＝－1，q＝－2，故f(x)＝x2－x－2.[能力提升](20分钟，40分)11．某学校要召开学生代表大会，规定根据班级人数每10人给一个代表名额，当班级人数除以10的余数大于6时，再增加一名代表名额．那么各班代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可表示为()A．y＝x10B．y＝x＋310C．y＝x＋410D．y＝x＋510解析：因为是大于6而非大于等于6，故要加3.答案：B12．若f(x)－12f(－x)＝2x(x∈R)，则f(2)＝________.解析：∵f(x)－12f(－x)＝2x，-11-∴f212f24，f212f24，得2f2f28，f212f24，相加得32f(2)＝4，f(2)＝83.答案：8313．作出下列函数的图象并写出其值域：(1)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．解析：(1)列表x2345…y1231225…当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(