2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1.1 函数的单调性学案（含解析）新

-1-第1课时函数的单调性知识点一定义域为I的函数f(x)的增减性,定义中的x1，x2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x1x2；(3)属于同一个单调区间．知识点二单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接.如函数y＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2在R上是增函数．()(2)所有的函数在其定义域上都具有单调性．()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”．()-2-答案：(1)×(2)×(3)×2．函数y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则()A．m12B．m12C．m－12D．m－12解析：使y＝(2m－1)x＋b在R上是减函数，则2m－10，即m12.答案：B3．函数y＝－2x2＋3x的单调减区间是()A．[0，＋∞)B．(－∞，0)C.－∞，34D.34，＋∞解析：借助图象得y＝－2x2＋3x的单调减区间是34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)f(x2)，∴x1x2.答案：x1x2类型一利用函数图象求单调区间例1已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为()A．(－3,1)∪(1,4)B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4)D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】C-3-观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1函数f(x)的图象如图所示，则()A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A图象上升或下降趋势判断．类型二函数单调性的判定与证明例2判断函数f(x)＝1x2－1在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义证明．【解析】函数f(x)＝1x2－1在区间(1，＋∞)上单调递减．证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝1x21－1－1x22－1＝x22－x21x21－1x22－1＝x2－x1x2＋x1x21－1x22－1.∵x1x2，∴x2－x10.∵x1，x2∈(1，＋∞)，∴x2＋x10，x21－10，x21－10，∴x2－x1x2＋x1x21－1x22－10，即f(x1)f(x2)，由单调性的定义可知函数f(x)＝1x2－1在区间(1，＋∞)上单调递减．先根据单调性的定义任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x2，再判断f(x1)－f(x2)的符号．方法归纳-4-利用定义证明函数单调性的步骤跟踪训练2利用单调性的定义，证明函数y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．证明：设x1，x2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋2x1＋1－x2＋2x2＋1＝x2－x1x1＋1x2＋1，∵－1x1x2，∴x2－x10，x1＋10，x2＋10.∴x2－x1x1＋1x2＋10.即f(x1)－f(x2)0，f(x1)f(x2)．∴y＝x＋2x＋1在(－1，＋∞)上是减函数．利用四步证明函数的单调性．类型三由函数的单调性求参数的取值范围例3已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围．【解析】∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2，∴f(x)的减区间是(－∞，1－a]．∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．∴1－a≥4，解得a≤－3.故a的取值范围为(－∞，－3].首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x＝1－a，利用对称轴应在直线x＝4的右侧或与其重合求解．方法归纳“函数的单调区间为I”与“函数在区间I上单调”的区别-5-单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a为何值？解析：由例3知函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－a]，∴1－a＝4，a＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有fafba－b0，则必有()A．函数f(x)先增后减B．f(x)是R上的增函数C．函数f(x)先减后增D．函数f(x)是R上的减函数解析：由fafba－b0知，当ab时，f(a)f(b)；当ab时，f(a)f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是()A．y＝－3x＋2B．y＝3xC．y＝x2－4x＋5D．y＝3x2＋8x－10解析：显然A、B两项在(0,2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)的是()-6-A．f(x)＝x2B．f(x)＝1xC．f(x)＝|x|D．f(x)＝2x＋1解析：因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，C，D在(0，＋∞)上都为增函数，B在(0，＋∞)上为减函数．答案：B4．函数f(x)＝x|x－2|的增区间是()A．(－∞，1]B．[2，＋∞)C．(－∞，1]，[2，＋∞)D．(－∞，＋∞)解析：f(x)＝x|x－2|＝x2－2x，x≥2，2x－x2，x2，作出f(x)简图如下：由图象可知f(x)的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)．答案：C5．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(0，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)f(－m＋9)，所以2m－m＋9，即m3.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数f(x)＝－(x＋2)2＋1的单调递减区间为________．解析：函数f(x)＝－(x＋2)2＋1的图象开口向下，对称轴为直线x＝－2，在对称轴右侧函数单调递减，所以函数f(x)＝－(x＋2)2＋1的单调递减区间为[－2，＋∞)．答案：[－2，＋∞)7．若f(x)在R上是单调递减的，且f(x－2)f(3)，则x的取值范围是________．解析：函数的定义域为R.由条件可知，x－23，解得x5.答案：(5，＋∞)-7-8．函数y＝|x2－4x|的单调减区间为________．解析：画出函数y＝|x2－4x|的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4]三、解答题(每小题10分，共20分)9．判断并证明函数f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x1，x2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1x2，则f(x1)－f(x2)＝－1x1＋1－－1x2＋1＝x1－x2x1x2，由x1，x2∈(0，＋∞)，得x1x20，又由x1x2，得x1－x20，于是f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，∴f(x)＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．10．作出函数f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f(x)＝－x－3，x≤1，x－22＋3，x1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[能力提升](20分钟，40分)11．若函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且满足f(1)f(2)f(3)，则函数f(x)在(0，＋∞)上()A．是增函数B．是减函数C．先增后减D．单调性不能确定-8-解析：函数单调性的定义突出了x1，x2的任意性，仅凭区间内有限个函数值的关系，不能作为判断函数单调性的依据，A，B，C错误，D正确．答案：D12．如果二次函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5在区间12，1上是增函数，则实数a的取值范围为________．解析：∵函数f(x)＝x2－(a－1)x＋5的对称轴为x＝a－12且在区间12，1上是增函数，∴a－12≤12，即a≤2.答案：(－∞，2]13．画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．解析：y＝－x2＋2x＋1，x≥0，－x2－2x＋1，x0，即y＝x－12＋2，x≥0，x＋12＋2，x0.函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为[－1,0]，[1，＋∞)．14．已知f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)f(1－x)，求x的取值范围．解析：∵f(x)是定义在[－1,1]上的增函数，且f(x－2)f(1－x)，∴－1≤x－2≤1，－1≤1－x≤1，x－21－x，解得1≤x32，所以x的取值范围为1，32.