2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系学案（含解析）新

-1-1.2.2同角三角函数的基本关系考试标准课标要点学考要求高考要求同角三角函数的基本关系bb同角三角函数关系的应用bb知识导图学法指导1.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件、形式及公式的变形，在尝试证明的基础上去理解记忆．2．理解并记忆相应的求值、化简以及证明的模型，领会解题常用的方法技巧，熟练掌握公式及其变形的应用.同角三角函数的基本关系式状元随笔(1)“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1等．(2)注意公式成立的条件．(3)注意公式的变形，特别是公式的逆用．(4)在应用平方关系式求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在的象限决定，不可凭空想象．-2-[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)sin2π3＋cos2π4＝1.()(2)sinα2＋cosα2＝1.()(3)对于任意角α都有sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα.()答案：(1)×(2)×(3)×2．若α为第二象限角，且sinα＝23，则cosα＝()A．－53B.13C.53D．－13解析：∵α是第二象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－53.答案：A3．已知tanα＝12，且α∈π，3π2，则sinα的值是()A．－55B.55C.255D．－255解析：∵α∈(π，3π2)，∴sinα0.由tanα＝sinαcosα＝12，sin2α＋cos2α＝1，得sinα＝－55.答案：A4．化简：(1＋tan2α)·cos2α等于()A．－1B．0C．1D．2解析：原式＝1＋sin2αcos2α·cos2α＝cos2α＋sin2α＝1.答案：C-3-类型一利用同角基本关系式求值例1(1)已知sinα＝15，求cosα，tanα；(2)已知tanα＝3，求3sin2α－cos2α2sin2α－6cos2α.【解析】(1)因为sinα＝150，且sinα≠1，所以α是第一或第二象限角．①当α为第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝1－125＝265，tanα＝sinαcosα＝612；②当α为第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－265，tanα＝－612.(2)分子、分母同除以cos2α，得3sin2α－cos2α2sin2α－6cos2α＝3tan2α－12tan2α－6.又tanα＝3，所以3sin2α－cos2α2sin2α－6cos2α＝3×32－12×32－6＝136.(1)已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．(2)利用同角基本关系式，分子、分母同除以cos2α，把正弦、余弦化成正切．方法归纳求同角三角函数值的一般步骤(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限．(2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论．(3)利用两个基本公式求出其余三角函数值．跟踪训练1(1)本例(2)条件变为sinα＋cosαsinα－cosα＝2，求3sinα－cosα2sinα＋3cosα的值；(2)本例(2)条件不变，求4sin2α－3sinα·cosα－5cos2α的值．解析：(1)法一：由sinα＋cosαsinα－cosα＝2，化简得sinα＝3cosα，原式＝3×3cosα－cosα2×3cosα＋3cosα＝8cosα9cosα＝89.法二：由sinα＋cosαsinα－cosα＝2得tanα＝3，原式＝3tanα－12tanα＋3＝3×3－12×3＋3＝89.-4-(2)原式＝4sin2α－3sinα·cosα－5cos2αsin2α＋cos2α＝4tan2α－3tanα－5tan2α＋1＝4×9－3×3－59＋1＝115.形如(2)式的求解，应灵活利用“1”的代换，将整式变为分式，即利用分式的性质将式子变为关于tanα的代数式，从而代入求值．类型二化简三角函数式例2化简：(1)sinα1＋sinα－sinα1－sinα；(2)1＋2sin10°cos10°cos10°＋1－cos210°.【解析】(1)sinα1＋sinα－sinα1－sinα＝sin1－sinsin1＋sin1＋sin1－sin＝－2sin2α1－sin2α＝－2sin2αcos2α＝－2tan2α.(2)1＋2sin10°cos10°cos10°＋1－cos210°＝cos10°＋sin102cos10°＋sin10°＝|cos10°＋sin10°|cos10°＋sin10°＝1.(1)利用同角基本关系化简．(2)注意1的活用．例如1＋2sin10°cos10°＝sin210°＋cos210°＋2sin210°cos10°＝(cos10°＋sin10°)2方法归纳三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．跟踪训练2(1)化简：1－2sin130°cos130°sin130°＋1－sin2130°；-5-(2)化简：sin2αtanα＋2sinαcosα＋cos2αtanα.解析：(1)原式＝sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130°sin130°＋cos2130°＝|sin130°－cos130°|sin130°＋|cos130°|＝sin130°－cos130°sin130°－cos130°＝1.(2)原式＝sin2α·sinαcosα＋2sinαcosα＋cos2α·cosαsinα＝sin4α＋2sin2αcos2α＋cos4αsinαcosα＝sin2α＋cos22sinαcosα＝1sinαcosα.(1)1－sin2130°＝cos2130°，1－2sin130°cos130°＝(sin130°－cos130°)2.(2)式子中的tanα应化为sinαcosα，如果出现分式，一般应通分．类型三利用同角三角函数关系证明例3求证：1－2sin2xcos2xcos22x－sin22x＝1－tan2x1＋tan2x.【证明】因为左边＝cos22x＋sin22x－2sin2xcos2xcos22x－sin22x＝cos2x－sin2x2cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝cos2x－sin2xcos2x＋sin2x＝1－tan2x1＋tan2x＝右边，所以等式成立.左边是含正、余弦的式子，右边是含有正切的式子，因此需要弦化切，左边的分子可以用平方关系，分母可以用平方差公式实现变形．方法归纳证明简单三角恒等式的思路(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．(2)证明左右两边等于同一个式子．(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．跟踪训练3求证：cosα1－sinα＝1＋sinαcosα.证明：方法一因为右边分母为cosα，故可将左边分子分母同乘以cosα.左边＝cos2α1－sincosα＝1－sin2αcos1－sin＝1－sin1＋sincos1－sin＝1＋sinαcosα＝右边．-6-方法二因为左边分母是1－sinα，故可将右边分子分母同乘以1－sinα.右边＝1＋sin1－sincos1－sinα＝1－sin2αcos1－sin＝cos2αcos1－sin＝cosα1－sinα＝左边．方法三只需证明左、右两边都与某个中间结果相等即可，因此可先将它们的分母变为相同．因为左边＝cos2αcos1－sin，右边＝1＋sin1－sincos1－sin＝1－sin2αcos1－sin＝cos2αcos1－sin，所以左边＝右边，原式成立．方法四只需证明左边－右边＝0即可．因为cosα1－sinα－1＋sinαcosα＝cos21＋sin1－sincos1－sin＝cos21－sin2cos1－sin＝cos2α－cos2αcos1－sin＝0，所以cosα1－sinα＝1＋sinαcosα.方法五为了消去左、右两边的差异，在左边的分子上凑出1＋sinα.左边＝cosα1－sinα＝cos1＋sin1－sin1＋sin＝cos1＋sin1－sin2α＝1＋sinαcosα＝右边．方法六证明内项积等于外项积．因为(1－sinα)(1＋sinα)＝1－sin2α＝cos2α，1－sinα≠0，cosα≠0，所以cosα1－sinα＝1＋sinαcosα.方法七利用分析法逐步寻求等式成立的条件．要证cosα1－sinα＝1＋sinαcosα成立，只需证cosαcosα＝(1－sinα)(1＋sinα)，即证cos2α＝1－sin2α，此式成立，故cosα1－sinα＝1＋sinαcosα成立．状元随笔三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异；(4)变更命题法，如要证明ab＝cd，可证ad＝bc或证db＝ca等；(5)比较法，即设法证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．类型四sinα±cosα型求值例4已知sinα＋cosα＝13，其中0απ，求sinα－cosα的值．-7-【解析】因为sinα＋cosα＝13，所以(sinα＋cosα)2＝19，可得：sinα·cosα＝－49.因为0απ，且sinα·cosα0，所以sinα0，cosα0.所以sinα－cosα0，又(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝179，所以sinα－cosα＝173.sinθ＋cosθ＝15,两边平方→求出2sinθcosθ的值→求sinθ－cosθ的值方法归纳已知sinα±cosα的求值问题的方法对于已知sinα±cosα的求值问题，一般利用整体代入的方法来解决，其具体的解法为：(1)用sinα表示cosα(或用cosα表示sinα)，代入sin2α＋cos2α＝1，根据角α的终边所在的象限解二次方程得sinα的值(或cosα的值)，再求其他，如tanα(体现方程思想)．(2)利用sinα±cosα的平方及sin2α＋cos2α＝1，先求出sinαcosα的值，然后求出sinα∓cosα的值(要注意结合角的范围确定符号)从而求解sinα，cosα的值，再求其他．跟踪训练4已知x是第三象限角，且cosx－sinx＝55.(1)求cosx＋sinx的值；(2)求2sin2x－sinxcosx＋cos2x的值．解析：(1)(cosx－sinx)2＝1－2sinxcosx＝15，所以2sinxcosx＝45，所以(cosx＋sinx)2＝1＋2sinxcosx＝95，因为x是第三象限角，所以cosx＋sinx0，所以cosx＋sinx＝－355.-8-(2)由cosx＋sinx＝－355，cosx－sinx＝55，解得cosx＝－55，sinx＝－255，所以2sin2x－sinxcosx＋cos2x＝2×45－25＋15＝75.(1)把cosx－sinx＝55平方(2)注意x的范围(3)分别求出sinx、cosx1.2.2[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列四个命题中可能成立的一个是()A．sinα＝12且cosα＝12B．sinα＝0且cosα＝－1C．tanα＝1且cosα＝－1D．tanα＝－sinαcosα(α在第二象限)解析：由同角三角函数基本关系式，知A，C，D不可能成立，B可能成立．答案：B2．已知α是第二象限角，且c