2019-2020学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2.3 正弦函数、余弦函数的单调性与最值学

-1-第3课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值正、余弦函数的图象与性质正弦函数余弦函数图象值域[－1,1][－1,1]单调性在2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)上递增，在2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)上递减在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上递增，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上递减最值x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ－π2(k∈Z)时，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1状元随笔(1)正、余弦函数的单调性：①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；②单调区间要在定义域内求解；③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．(2)正、余弦函数的最值①明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|≤1,|cosx|≤1；②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；③形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asinz的形式求最值．[小试身手]1．判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)-2-(1)正弦函数y＝sinx在R上是增函数．()(2)正弦函数y＝sinx的一个增区间是[0，π]．()(3)当余弦函数y＝cosx取最大值时，x＝π＋2kπ，k∈Z.()答案：(1)×(2)×(3)×2．函数y＝sinx＋π2，x∈R在()A.－π2，π2上是增函数B．[0，π]上是减函数C．[－π，0]上是减函数D．[－π，π]上是减函数解析：y＝sinx＋π2＝cosx，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．答案：B3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是()A．y＝cos|x|B．y＝cos|－x|C．y＝sinx－π2D．y＝－sinx2解析：y＝cos|x|在()0，π上是减函数，排除A；y＝cos|－x|＝cos|x|，排除B；y＝sinx－π2＝－sinπ2－x＝－cosx是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sinx2在(0，π)上是单调递减的．答案：C4．函数y＝1－2cosπ2x的最小值，最大值分别是()A．－1,3B．－1,1C．0,3D．0,1解析：∵－1≤cosπ2x≤1，∴－1≤y≤3.答案：A类型一正、余弦函数的单调性-3-例1(1)函数f(x)＝sinx＋π6的一个递减区间是()A.－π2，π2B．[－π，0]C.－23π，23πD.π3，4π3(2)函数y＝cos2x－π3的单调递增区间是________．【解析】(1)由π3≤x≤43π，可得π2≤x＋π6≤32π.所以π3，4π3是函数的一个减区间．(2)因为－π＋2kπ≤2x－π3≤2kπ，k∈Z.所以kπ－π3≤x≤kπ＋π6，k∈Z.【答案】(1)D(2)kπ－π3，kπ＋π6(k∈Z)(1)由A，B，C，D中x的范围，求出x＋π6的范围，验证是否为减区间．(2)将2x－π3代入到[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z中，解出x的范围，即可得增区间．方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间同上．(3)①ω0时，一般用诱导公式转化为－ω0后求解；②若A0，则单调性相反．跟踪训练1(1)下列函数，在π2，π上是增函数的是()A.y＝sinxB．y＝cosxC．y＝sin2xD．y＝cos2x-4-(2)求函数y＝2sinπ3－2x的单调递增区间．解析：(1)因为y＝sinx与y＝cosx在π2，π上都是减函数，所以排除A，B.因为π2≤x≤π，所以π≤2x≤2π.因为y＝sin2x在2x∈[π，2π]内不具有单调性，所以排除C.(2)由y＝2sinπ3－2x，得y＝－2sin2x－π3.∴要求函数y＝2sinπ3－2x的单调递增区间，只需求出函数y＝2sin2x－π3的单调递减区间．令π2＋2kπ≤2x－π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，解之得5π12＋kπ≤x≤11π12＋kπ，k∈Z.∴函数的单调递增区间为5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z)．答案：(1)D(2)5π12＋kπ，11π12＋kπ(k∈Z)(1)逐个验证选项把不符合题意的排除．(2)首先利用诱导公式化简函数为y＝－2sin2x－π3，再利用性质求增区间．类型二比较三角函数值的大小例2比较下列各组数的大小：(1)sin250°与sin260°；(2)cos15π8与cos14π9.【解析】(1)∵函数y＝sinx在π2，3π2上单调递减，且90°250°260°270°，∴sin250°sin260°.(2)cos15π8＝cos2π－π8＝cosπ8，cos14π9＝cos2π－4π9＝cos4π9.∵函数y＝cosx在[0，π]上单调递减，且0π84π9π，∴cosπ8cos4π9，∴cos15π8cos14π9.利用诱导公式，将角化到正弦函数或余弦函数的一个单调区间内，利用单调性判断大小．-5-方法归纳比较三角函数值大小的方法(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值．(2)不同名的函数化为同名函数．(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间．跟踪训练2比较下列各组数的大小．(1)sin－376π与sin493π；(2)cos870°与sin980°.解析：(1)sin－376π＝sin－6π－π6＝sin－π6，sin493π＝sin16π＋π3＝sinπ3，因为y＝sinx在－π2，π2上是增函数，所以sin－π6sinπ3，即sin－376πsin493π.(2)cos870°＝cos(720°＋150°)＝cos150°，sin980°＝sin(720°＋260°)＝sin260°＝sin(90°＋170°)＝cos170°，因为0°150°170°180°，所以cos150°cos170°，即cos870°sin980°.首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区间，最后利用函数的单调性比较大小．类型三正、余弦函数的最值问题例3函数y＝2cos2x＋π6－1的最小值是______，此时x＝______.【解析】当2x＋π6＝π＋2kπ，k∈Z，x＝5π12＋kπ，k∈Z时，ymin＝－2－1＝－3.【答案】－35π12＋kπ，k∈Z-6-观察函数解析式特点，由y＝cos2x＋π6的最小值，求函数y＝2cos2x＋π6－1的最小值，并求x的取值．方法归纳求正、余弦函数最值问题的关注点(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)的函数的最值要注意对a的讨论．(2)将函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式．(3)换元后配方利用二次函数求最值．跟踪训练3求下列函数的值域：(1)y＝cosx＋π6，x∈0，π2；(2)y＝2sin2x＋2sinx－12，x∈π6，5π6.解析(1)由y＝cosx＋π6，x∈0，π2可得x＋π6∈π6，2π3，函数y＝cosx在区间π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为－12，32.(2)令t＝sinx，∴y＝2t2＋2t－12＝2t＋122－1.∵x∈π6，5π6，∴12≤sinx≤1，即12≤t≤1，∴1≤y≤72，∴函数f(x)的值域为1，72.(1)先由x的范围求出x＋π6的范围，再求值域．(2)先换元令t＝sinx，再利用二次函数求值域．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)-7-1．已知函数y＝sinx和y＝cosx在区间M上都是增函数，那么区间M可以是()A.0，π2B.π2，πC.π，3π2D.3π2，2π解析：y＝sinx在0，π2和3π2，2π上是增函数，y＝cosx在(π，2π)上是增函数，所以区间M可以是3π2，2π.答案：D2．函数y＝2－sinx的最大值及取最大值时x的值为()A．ymax＝3，x＝－π2B．ymax＝1，x＝π2＋2kπ(k∈Z)C．ymax＝3，x＝－π2＋2kπ(k∈Z)D．ymax＝3，x＝π2＋2kπ(k∈Z)解析：当x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，y＝sinx有最小值－1，函数y＝2－sinx有最大值3.答案：C3．符合以下三个条件：①0，π2上递减；②以2π为周期；③为奇函数．这样的函数是()A．y＝sinxB．y＝－sinxC．y＝cosxD．y＝－cosx解析：在0，π2上递减，可以排除A，是奇函数可以排除C，D.答案：B4．下列不等式中成立的是()A．sin－π8sin－π10B．sin3sin2C．sin75πsin－25πD．sin2cos1解析：因为sin2＝cosπ2－2＝cos2－π2，且02－π21π，所以cos2－π2cos-8-1，即sin2cos1.答案：D5．函数y＝2sinx－π3(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A.－π，－5π6B.－5π6，－π6C.－π3，0D.－π6，0解析：方法一y＝2sinx－π3，其单调递增区间为－π2＋2kπ≤x－π3≤π2＋2kπ，k∈Z，则－π6＋2kπ≤x≤5π6＋2kπ，k∈Z.由于x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为－π6，0.方法二函数在5π6取得最大值，且其最小正周期为2π，则其单调递增区间为5π6－π，5π6，即－π6，5π6，又x∈[－π，0]，所以其单调递增区间为－π6，0.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．函数y＝cosπ4－2x的单调递减区间为________．解析：y＝cosπ4－2x＝cos2x－π4，由2kπ≤2x－π4≤2kπ＋π(k∈Z)，得kπ＋π8≤x≤kπ＋5π8(k∈Z)．所以函数的单调减区间为kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)．答案：kπ＋π8，kπ＋5π8(k∈Z)7．函数f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上的最小值为________．解析：当0≤x≤π2时，－π4≤2x－π4≤3π4，因为函数y＝sinx在0，3π4上的函数值恒为正数，在－π4，0上的函数值恒为负数，且在－π4，0上为增函数，所以函数f(x)的-9-最小值为f(0)＝－22.答案：－228．sin2π7________sin－15π8(填“”或“”)．解析：sin－15π8＝sin－2π＋π8＝s