2020版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理、概率、随机变量及分布列 第7讲 离散型随机变量及分布

1第7讲离散型随机变量及分布列基础知识整合1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为□01随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为□02离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量X的□03概率分布列，简称为X的□04分布列，有时为了表达简单，也用等式□05P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(2)离散型随机变量的分布列的性质①□06pi≥0(i＝1,2，…，n)；②□07i＝1npi＝1.3．常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，其中m＝□09min{M，n}，且□10n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列．21．随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．2．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．(2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．1．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝12k，k＝1,2，…，则P(2X≤4)等于()A.316B.14C.116D.516答案A解析P(2X≤4)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＝123＋124＝316.2．(2019·山西联考)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是()A.3235B.1235C.335D.235答案B解析设随机变量X表示取出次品的个数，X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P(X＝1)＝C12C213C315＝1235.3．(2019·淄博一中模拟)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于()A．0B.13C.12D.23答案B解析设P(ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0)＝1－p.依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝23.故P(ξ＝0)＝1－p＝13.4．(2019·新疆乌鲁木齐模拟)口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为()A.13B.23C．2D.83答案D解析因为口袋中有编号分别为1,2,3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，所以取出的球的最大编号X的可能取值为2,3，所以P(X＝2)＝1C23＝13，P(X＝3)＝C12C11C23＝23，所3以E(X)＝2×13＋3×23＝83.5．(2018·安康质检)设随机变量X的概率分布列为则P(|X－3|＝1)＝________.答案512解析由13＋m＋14＋16＝1，解得m＝14，P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝14＋16＝512.6．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值范围是________．答案－13，13解析设ξ取x1，x2，x3时的概率分别为a－d，a，a＋d，则(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，所以a＝13，由13－d≥0，13＋d≥0，得－13≤d≤13.核心考向突破考向一离散型随机变量分布列的性质例1(1)(2019·河南南阳联考)随机变量ξ的概率分布规律为P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则P54X134的值为()A.23B.34C.45D.516答案D解析∵P(X＝n)＝ann＋1(n＝1,2,3,4)，∴a2＋a6＋a12＋a20＝1，∴a＝54.∴P54X134＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝54×16＋54×112＝516.(2)(2018·浙江高考)设0p1，随机变量ξ的分布列是4则当p在(0,1)内增大时，()A．D(ξ)减小B．D(ξ)增大C．D(ξ)先减小后增大D．D(ξ)先增大后减小答案D解析∵E(ξ)＝0×1－p2＋1×12＋2×p2＝p＋12，∴D(ξ)＝1－p20－p－122＋121－p－122＋p22－p－122＝－p2＋p＋14，∵12∈(0,1)，∴D(ξ)先增大后减小，因此选D.触类旁通离散型随机变量分布列性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．求随机变量在某个范围内取值的概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量的各个取值的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.即时训练1.(2019·西安质检)已知随机变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为()A.16B.13C.12D.56答案B解析由题意知a，b，c∈[0,1]，且2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，解得b＝13，又函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，故对于方程x2＋2x＋ξ＝0，Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，所以P(ξ＝1)＝13.2．若随机变量ξ的分布列如下表，则E(ξ)＝()5A．q2＋12B．q2－12C．1－2D．1＋2答案C解析由离散型随机变量分布列的性质，得0≤1－2q≤1，q2≤1，12＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－22，∴E(ξ)＝－1×12＋0×(1－2q)＋1×q2＝q2－12＝1－2.考向二求离散型随机变量的分布列角度1.