2020版高考数学一轮复习 第十二章 算法初步 第4讲 直接证明与间接证明教案 理（含解析）新人教A

1第4讲直接证明与间接证明基础知识整合1.直接证明2.间接证明(1)反证法的定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明□05假设错误，从而证明□06原命题成立的证明方法．(2)利用反证法证题的步骤①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；2②由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；③由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．,分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉使用．1.要证明3＋725，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是()A.综合法B．分析法C．反证法D．归纳法答案B解析从要证明的结论——比较两个无理数的大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小，这正是分析法的证明方法．故选B.2.用反证法证明命题：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是()A.假设a，b，c都是偶数B.假设a，b，c都不是偶数C.假设a，b，c中至多有一个偶数D.假设a，b，c中至多有两个偶数答案B解析“a，b，c中至少有一个是偶数”的否定为“a，b，c都不是偶数”．故选B.3.若ab0，且x＝a＋1b，y＝b＋1a，则()A.xyB．xyC．x≥yD．x≤y答案A解析因为a＋1b－b＋1a＝(a－b)1＋1ab0.所以a＋1bb＋1a.故选A.4．若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A．ac2bc2B．a2abb2C.1a1bD.baab答案B解析∵a2－ab＝a(a－b)，ab0，∴a－b0，a2－ab0，∴a2ab.①又ab－b2＝b(a－b)0，∴abb2，②由①②得a2abb2.5．(2019·扬州调研)设ab0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．答案mn解析解法一：(取特殊值法)取a＝2，b＝1，得mn.3解法二：(分析法)a－ba－b⇐b＋a－ba⇐ab＋2b·a－b＋a－b⇐2b·a－b0，显然成立．6．已知实数m，n满足mn0，m＋n＝－1，则1m＋1n的最大值为________．答案－4解析∵mn0，m＋n＝－1，∴m0，n0，∴1m＋1n＝－(m＋n)1m＋1n＝－2＋mn＋nm≤－2－2mn·nm＝－4，当且仅当m＝n＝－12时，1m＋1n取得最大值－4.核心考向突破考向一综合法证明例1已知sinθ，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列．证明：2cos2x＝cos2y.证明∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，∴sinθ＋cosθ＝2sinx，①sinθcosθ＝sin2y,②①2－②×2，可得(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝4sin2x－2sin2y，即4sin2x－2sin2y＝1.∴4×1－cos2x2－2×1－cos2y2＝1，即2－2cos2x－(1－cos2y)＝1.故证得2cos2x＝cos2y.触类旁通综合法证明的思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的正确判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．2.即时训练1.已知f(x)＝12x＋2，证明：f(x)＋f(1－x)＝22.证明∵f(x)＝12x＋2，∴f(x)＋f(1－x)＝12x＋2＋121－x＋24＝12x＋2＋2x2＋2·2x＝22＋2·2x＋2x2＋2·2x＝2＋2x2＋2·2x＝2＋2x22＋2x＝12＝22.故f(x)＋f(1－x)＝22成立．考向二分析法证明例2已知：a0，b0，a＋b＝1.求证：a＋12＋b＋12≤2.证明要证a＋12＋b＋12≤2，只需证a＋12＋b＋12＋2a＋12b＋12≤4，又a＋b＝1，故只需证a＋12b＋12≤1，只需证a＋12b＋12＝ab＋12(a＋b)＋14≤1，只需证ab≤14.因为a0，b0,1＝a＋b≥2ab，所以ab≤14，故原不等式成立当且仅当a＝b＝12时取等号.触类旁通分析法证题的技巧(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．错误!5即时训练2.已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝1.求证：a＋b＋c≤3.证明欲证a＋b＋c≤3，则只需证(a＋b＋c)2≤3，即证a＋b＋c＋2(ab＋bc＋ac)≤3，即证ab＋bc＋ac≤1.又ab＋bc＋ac≤a＋b2＋b＋c2＋a＋c2＝1，当且仅当a＝b＝c＝13时取“＝”．∴原不等式a＋b＋c≤3成立．考向三反证法证明角度1x02，与假设x00相矛盾，故方程f(x)＝0没有负数根．