2020版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第5讲 定积分与微积分基本定理教案 理（含解析）新

1第5讲定积分与微积分基本定理基础知识整合1．定积分的概念在abf(x)dx中，□01a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，□02f(x)叫做被积函数，□03x叫做积分变量，□04f(x)dx叫做被积式．2．定积分的性质(1)abkf(x)dx＝□05kabf(x)dx(k为常数)．(2)ab[f1(x)±f2(x)]dx＝□06abf1(x)dx±abf2xdx.(3)□07abf(x)dx＝acf(x)dx＋cbf(x)dx(其中a＜c＜b)．3．微积分基本定理如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么abf(x)dx＝□08F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．为了方便，常把F(b)－F(a)记成□09F(x)|ba，即abf(x)dx＝□10F(x)|ba＝F(b)－F(a)．1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．函数f(x)在闭区间[－a，a]上连续，则有(1)若f(x)为偶函数，则-aaf(x)dx＝20af(x)dx.(2)若f(x)为奇函数，则-aaf(x)dx＝0.1．已知t是常数，若0t(2x－2)dx＝8，则t＝()A．1B．－2C．－2或4D．42答案D解析由0t(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)t0＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去)．2．(2019·南昌模拟)若1a2x＋1xdx＝3＋ln2(a＞1)，则a的值是()A．2B．3C．4D．6答案A解析由题意可知1a2x＋1xdx＝(x2＋lnx)a1＝a2＋lna－1＝3＋ln2，解得a＝2.3．直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于()A.43B．2C.83D.1623答案C解析由已知得l：y＝1，解方程组x2＝4y，y＝1，得交点坐标为(－2，1)，(2,1)．如图阴影部分，由于l与C围成的图形关于y轴对称，所以所求面积S＝2021－x24dx＝2x－112x320＝22－812＝83.4．(2019·海南模拟)已知f(x)为偶函数且06f(x)dx＝8，则－66－6f(x)dx等于()A．0B．4C．8D．16答案D3解析－66f(x)dx＝－60f(x)dx＋06f(x)dx，因为原函数为偶函数，即其图象关于y轴对称，所以对应的面积相等，即－60f(x)dx＝06f(x)dx，故所求为8×2＝16.5．(2019·南昌模拟)设f(x)＝x2，x∈[0，，1x，x∈[1，e](e为自然对数的底数)，则0ef(x)dx的值为________．答案43解析0ef(x)dx＝01x2dx＋1e1xdx＝13x310＋lnxe1＝13＋lne＝43.6．若0π2(sinx－mcosx)dx＝m，则实数m＝________.答案12解析0π2(sinx－mcosx)dx＝(－cosx－msinx)π20＝(0－m)－(－1－0)＝m，解得m＝12.核心考向突破考向一定积分的计算例1计算下列定积分：(1)-13(3x2－2x＋1)dx；(2)122xdx；(3)02|1－x|dx；(4)011－－dx.解(1)-13(3x2－2x＋1)dx＝(x3－x2＋x)|3－1＝24.(2)因为(lnx)′＝1x，所以122xdx＝2121xdx＝2lnx|21＝2(ln2－ln1)＝2ln2.(3)若1－x≥0，则x≤1，若1－x＜0，则x＞1，于是02|1－x|dx＝01(1－x)dx＋12(x－1)dx4＝x－12x2|10＋x22－x|21＝1.(4)根据定积分的几何意义，可知011－－dx表示的是圆(x－1)2＋y2＝1的面积的14，故011－－dx＝π4.触类旁通求定积分时应注意的几点(1)对被积函数要先化简，再求积分．求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和.对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分.注意用＝检验积分的对错.根据定积分的几何意义可利用面积求定积分.若为奇函数，则-aadx＝0.(7)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．即时训练1.计算下列定积分：(1)011－x2dx；(2)01(2x＋ex)dx；(3)0πcosxdx；(4)132x－1x2dx.解(1)y＝1－x2，∴x2＋y2＝1，y≥0.∴011－x2dx几何意义为14个圆的面积．∴011－x2dx＝π4.(2)01(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝1＋e1－1＝e.(3)因为(sinx)′＝cosx，所以0πcosxdx＝sinxπ0＝sinπ－sin0＝0.(4)因为(x2)′＝2x，1x′＝－1x2，所以132x－1x2dx＝132xdx＋13－1x2dx＝x2|31＋1x|31＝223.5考向二利用定积分求图形的面积角度1(20－0.4t)dt＝500m.所以列车应在进站前50s，以及离车站500m处开始制动．