2020版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第7讲 立体几何中的向量方法教案 理（含解析）新人教A

1第7讲立体几何中的向量方法基础知识整合1．直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e或与e□01共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有□02无数个．(2)平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在□03直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量也有□04无数个，且它们是□05共线向量．(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则l∥m⇔□06a∥b⇔□07a＝kb，k∈R；l⊥m⇔□08a⊥b⇔□09a·b＝0；l∥α⇔□10a⊥u⇔□11a·u＝0；l⊥α⇔□12a∥u⇔□13a＝ku，k∈R；α∥β⇔□14u∥v⇔□15u＝kv，k∈R；α⊥β⇔□16u⊥v⇔□17u·v＝0.2．空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ|＝□18|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是0，π2).(2)直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝□19|e·n||e||n|，φ的取值范围是0，π2.2(3)求二面角的大小如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝□20〈AB→，CD→〉．如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．取值范围是[0，π]．3．求空间的距离(1)点到平面的距离如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝□21|AB→·n||n|.(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解．1．直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则AB→及与AB→平行3的非零向量均为直线l的方向向量．2．平面的法向量的确定：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.1．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合答案C解析由(1,2,0)·(2，－1,0)＝1×2＋2×(－1)＋0×0＝0，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直．2．(2019·黑龙江模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A.105B.155C.45D.23答案B解析设正方体的棱长为2，建立如图所示的坐标系，O(1,1,0)，E(0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，∴FD1→＝(－1,0,2)，OE→＝(－1,1,1)．4∴cos〈FD1→，OE→〉＝FD1→·OE→|FD1→||OE→|.