（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y＝Asin(ωx

1§4.4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用考情考向分析以考查函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为填空题，中档难度．1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种途径概念方法微思考21．怎样从y＝sinωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的图象？提示向左平移φω个单位长度．2．函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？提示x＝kπω＋π2ω－φω(k∈Z)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sinx－π4的图象是由y＝sinx＋π4的图象向右平移π2个单位长度得到的．(√)(2)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(×)(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.(√)(4)函数y＝sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y＝sin12x.(×)题组二教材改编2．[P39T2]为了得到函数y＝2sin2x－π3的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象向________平移________个单位长度．答案右π63．[P40T5]y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为__________________．答案2，14π，－π34．[P41T1]如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为__________________________．3答案y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]解析从题图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝3π4，所以y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]．题组三易错自纠5．将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为________________．答案y＝2sin2x－π3解析函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期，即π4个单位长度，所得函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3.6．y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________．答案π2＋4解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.7.若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)的部分图象如图所示，则fπ4的值为________．4答案3解析由题干图象可知A＝2，34T＝11π12－π6＝3π4，∴T＝π，∴ω＝2，∵当x＝π6时，函数f(x)取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝π6＋2kπ(k∈Z)，又0φπ，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin2x＋π6，则fπ4＝2sinπ2＋π6＝2cosπ6＝3.题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，－π2φπ2的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2.(1)求f(x)的解析式；(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．解(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为当x＝π6时，f(x)取得最大值2.所以A＝2，同时2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝2kπ＋π6，k∈Z，因为－π2φπ2，所以φ＝π6，所以f(x)＝2sin2x＋π6.5(2)因为x∈[0，π]，所以2x＋π6∈π6，13π6，列表如下：2x＋π6π6π2π3π22π13π6x0π65π122π311π12πf(x)120－201描点、连线得图象：引申探究在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．解由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin2x－m＋π6＝2sin2x－2m－π6是偶函数，所以2m－π6＝π2(2k＋1)，k∈Z，m＝kπ2＋π3，k∈Z，又因为m0，所以m的最小值为π3.思维升华(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．(2)由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练1(1)(2018·南通、泰州模拟)在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝sin2x＋π3的图象向右平移φ0φπ2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．答案π6解析y＝sin2x＋π3的图象向右平移φ个单位长度后得到y＝sin2x－2φ＋π3，6又sin－2φ＋π3＝0，∴－2φ＋π3＝kπ(k∈Z)，又0φπ2，∴φ＝π6.(2)已知函数f(x)＝sinωx＋π6(0ω2)满足条件：f－12＝0，为了得到函数y＝f(x)的图象，可将函数g(x)＝cosωx的图象向右平移m(m0)个单位长度，则m的最小值为________．答案1解析由题意得sin－12ω＋π6＝0，即－12ω＋π6＝kπ(k∈Z)，则ω＝π3－2kπ(k∈Z)，结合0ω2，得ω＝π3，所以f(x)＝sinπ3x＋π6＝cosπ2－π3x－π6＝cosπ3x－1，所以只需将函数g(x)＝cosπ3x的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y＝f(x)的图象．题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2(1)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则y＝fx＋π6取得最小值时x的集合为________________．答案xx＝kπ－π3，k∈Z解析根据题干所给图象，周期T＝4×7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，再由|φ|π2，得φ＝－π6，∴f(x)＝sin2x－π6，∴fx＋π6＝sin2x＋π6，当2x＋π6＝－π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝－π3＋kπ(k∈Z)时，y＝fx＋π6取得最小值．7(2)(2019·江苏省扬州中学月考)函数f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3(ω0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．①求ω的值及函数f(x)的值域；②若f(x0)＝835，且x0∈－103，23，求f(x0＋1)的值．解①由已知可得，f(x)＝3cosωx＋3sinωx＝23sinωx＋π3，∴函数f(x)的值域为[－23，23]，∴正三角形ABC的高为23，从而BC＝4，∴函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.②∵f(x0)＝835，由①有f(x0)＝23sinπ4x0＋π3＝835，即sinπ4x0＋π3＝45，由x0∈－103，23，知π4x0＋π3∈－π2，π2，∴cosπ4x0＋π3＝1－452＝35.∴f(x0＋1)＝23sinπ4x0＋π4＋π3＝23sinπ4x0＋π3＋π4＝23sinπ4x0＋π3cosπ4＋cosπ4x0＋π3sinπ4＝2345×22＋35×22＝765.思维升华y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)8或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．跟踪训练2已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点π3，32对称，则m的最小值为________．答案π12解析依题意得A＋B＝332，－A＋B＝－32，解得A＝3，B＝32，T2＝πω＝2π3－π6＝π2，故ω＝2，则f(x)＝3sin(2x＋φ)＋32.又fπ6＝3sinπ3＋φ＋32＝332，故π3＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)，即φ＝π6＋2kπ(k∈Z)．因为|φ|π2，故φ＝π6，所以f(x)＝3sin2x＋π6＋32.将函数f(x)的图象向左平移m个单位长度后，得到g(x)＝3sin2x＋π6＋2m＋32的图象，又函数g(x)的图象关于点π3，32对称，即h(x)＝3sin2x＋π6＋2m的图象关于点π3，0对称，9故3sin2π3＋π6＋2m＝0，即5π6＋2m＝kπ(k∈Z)，故m＝kπ2－5π12(k∈Z)．又m0，所以m的最小值为π12.题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合问题例3已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，若f(0)＝3，且AB→·BC→＝π28－8，B，C分别为最高点与最低点．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．解(1)由f(0)＝3，可得2sinφ＝3，即sinφ＝32.又∵|φ|π2，∴φ＝π3.由题意可知，AB→＝14T，2，BC→＝12T，－4，则AB→·BC→＝T28－8＝π28－8，∴T＝π.故ω＝2，∴f(x)＝2sin2x＋π3.由－π2＋2kπ≤2x＋π3≤π2＋2kπ，k∈Z，解得－5π12＋kπ≤x≤π12＋kπ，k∈Z，∴函数f(x)的单调递增区间为－5π12＋kπ，π12＋kπ，k∈Z.(2)由题意将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，10∴g(x)＝fx＋π6＝2sin2x＋π6＋π3＝2sin2x＋2π3.∵x∈0，π2，∴2x＋2π3