（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角

1第四章三角函数、解三角形考试内容等级要求三角函数的概念B同角三角函数的基本关系式B三角函数的诱导公式B正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质B函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质A两角和(差)的正弦、余弦及正切C二倍角的正弦、余弦及正切B正弦定理、余弦定理及其应用B§4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数考情考向分析以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．题型以填空题为主，低档难度．1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝lr，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．③弧度与角度的换算：360°＝2πrad；180°＝πrad；1°＝π180rad；1rad＝180π度．④弧长公式：l＝|α|r.22．任意角的三角函数在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点的距离是r(r＝x2＋y20)．则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．三个三角函数的性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanα{α|α≠kπ＋π2，k∈Z}＋－＋－3.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线概念方法微思考1．总结一下三角函数值在各象限的符号规律．提示一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．三角函数坐标法定义中，若取点P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，怎样定义角α的三角函数？提示设点P到原点O的距离为r，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．3题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(×)(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(√)(3)不相等的角终边一定不相同．(×)(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα1.(√)题组二教材改编2．[P10T6]角－225°＝________弧度，这个角在第________象限．答案－5π4二3．[P14例1]若角α的终边经过点Q－22，22，则sinα＝________，cosα＝________.答案22－224．[P10T8]一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角为________弧度．答案π3题组三易错自纠5．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是________．答案2π3解析与角－4π3终边相同的角是2kπ＋－4π3(k∈Z)，令k＝1，可得与角－4π3终边相同的角是2π3.6．已知点P32，－12在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为________．答案11π6解析因为点P32，－12在第四象限，4所以根据三角函数的定义可知tanθ＝－1232＝－33，又θ∈3π2，2π，所以θ＝11π6.7．函数y＝2cosx－1的定义域为____________________________．答案2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)．题型一角及其表示1.已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为____________________．答案2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z)解析∵在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为π4，56π，∴所求角的集合为2kπ＋π4，2kπ＋56π(k∈Z)．52．设集合M＝xx＝k2·180°＋45°，k∈Z，N＝xx＝k4·180°＋45°，k∈Z，那么集合M，N的关系是________．答案M⊆N解析由于M中，x＝k2·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝k4·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.3．终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________．答案－53π，－23π，π3，43π解析如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为－53π，－23π，π3，43π.4．若角α是第二象限角，则α2是第________象限角．答案一或三解析∵α是第二象限角，∴π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．思维升华(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的6终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．(2)确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值确定kα或αk的终边所在位置．题型二弧度制及其应用例1已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.若α＝π3，R＝10cm，求扇形的面积．解由已知得α＝π3，R＝10cm，∴S扇形＝12α·R2＝12·π3·102＝50π3(cm2)．引申探究1．若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积．解l＝α·R＝π3×10＝10π3(cm)，S弓形＝S扇形－S三角形＝12·l·R－12·R2·sinπ3＝12·10π3·10－12·102·32＝50π－7533(cm2)．2．若例题条件改为：“若扇形周长为20cm”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解由已知得，l＋2R＝20，则l＝20－2R(0R10)．所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5cm时，S取得最大值25cm2，此时l＝10cm，α＝2rad.思维升华应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．跟踪训练1(1)(2018·连云港市灌南华侨高级中学月考)已知扇形的半径为10，面积为50π3，则扇形的圆心角为________．答案π3解析设扇形的圆心角为α(rad)，半径为r，7则扇形的面积为S＝12r2α.∴503π＝12×102×α，解得α＝π3.(2)一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．答案518解析设圆的半径为r，则扇形的半径为2r3，记扇形的圆心角为α，由扇形面积等于圆面积的527，可得12α2r32πr2＝527，解得α＝5π6.所以扇形的弧长与圆周长之比为lC＝5π6·2r32πr＝518.题型三三角函数的概念命题点1三角函数定义的应用例2(1)已知角α的终边与单位圆的交点为P－12，y，则sinα·tanα＝________.答案－32解析由OP2＝14＋y2＝1，得y2＝34，y＝±32.当y＝32时，sinα＝32，tanα＝－3，此时，sinα·tanα＝－32.当y＝－32时，sinα＝－32，tanα＝3，8此时，sinα·tanα＝－32.所以sinα·tanα＝－32.(2)(2018·江苏省常熟中学月考)在平面直角坐标系xOy中，点P在角2π3的终边上，且OP＝2，则点P的坐标为________．答案(－1，3)解析由题意可知，点P在角2π3的终边上，所以xP＝2×cos2π3＝－1，yP＝2×sin2π3＝3，则点P的坐标为(－1，3)．(3)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是第________象限角．答案二解析由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，∵cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ20，综上可知，θ2为第二象限角．命题点2三角函数线例3(1)满足cosα≤－12的角的集合是________．答案α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z解析作直线x＝－12交单位圆于C，D两点，连结OC，OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，9故满足条件的角α的集合为α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.(2)若－3π4α－π2，从单位圆中的三角函数线观察sinα，cosα，tanα的大小关系是________．答案sinαcosαtanα解析如图，作出角α的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sinαcosαtanα.思维升华(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．跟踪训练2(1)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα0.则实数a的取值范围是________．答案(－2,3]解析∵cosα≤0，sinα0，∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．∴3a－9≤0，a＋20，∴－2a≤3.(2)在(0,2π)内，使得sinxcosx成立的x的取值范围是________．答案π4，5π4解析当x∈π2，π时，sinx0，cosx≤0，显然sinxcosx成立；当x∈0，π4时，如图，OA为x的终边，此时sinx＝MA，cosx＝OM，sinx≤cosx；当x∈π4，π2时，如图，OB10为x的终边，此时sinx＝NB，cosx＝ON，sinxcosx．同理当x∈π，5π4时，sinxcosx；当x∈5π4，2π时，sinx≤cosx.1．角－870°的终边所在的象限是第________象限．答案三解析由－870°＝－1080°＋210°，知－870°角和210°角的终边相同，在第三象限．2．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．答案2解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为2r，∴圆心角的弧度数是2rr＝2.3．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是________．答案1或4解析设扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝6，12rl＝2，解得r＝1，l＝4或r＝2，l＝2.从而α＝lr＝41＝4或α＝lr＝22＝1.4．(2018·无锡期末)已知角α的终边经过点P(x，－6)，且tanα＝－35，则x的值为________．答案10解析根据三角函数的定义，得tanα＝－6x＝－35，所以x＝10.5．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cos