（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十章 算法、统计与概率 10.6 几何概型教案（含解析）

1§10.6几何概型考情考向分析以理解几何概型的概念、概率公式为主，会求一些简单的几何概型的概率，常与平面几何、线性规划、不等式的解集等知识交汇考查．在高考中常以填空题的形式考查，难度为中档．1．几何概型设D是一个可度量的区域(例如线段、平面图形、立体图形等)，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点．这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关．我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型．2．几何概型的概率计算公式一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率P(A)＝d的测度D的测度.3．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．4．随机模拟方法(1)使用计算机或者其他方式进行的模拟试验，以便通过这个试验求出随机事件的概率的近似值的方法就是模拟方法．(2)用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法．这个方法的基本步骤是①用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；②统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；③计算频率fn(A)＝MN作为所求概率的近似值．概念方法微思考1．古典概型与几何概型有什么区别？提示古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个．22．几何概型中线段的端点、图形的边框是否包含在内影响概率值吗？提示几何概型中线段的端点，图形的边框是否包含在内不会影响概率值．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．(√)(2)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(3)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)(5)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝19.(×)题组二教材改编2．[P110习题T1]在线段[0,3]上任投一点，则此点坐标小于1的概率为________．答案13解析坐标小于1的区间为[0,1)，长度为1，[0,3]的区间长度为3，故所求概率为13.3．[P116习题T6]有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是________．答案①解析∵P(A)＝38，P(B)＝28，P(C)＝26，P(D)＝13，∴P(A)P(C)＝P(D)P(B)．4．[P120复习T10]设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是________．答案4－π4解析如图所示，3正方形OABC及其内部为不等式组表示的平面区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积为4－π.因此满足条件的概率是4－π4.题组三易错自纠5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.答案3解析由|x|≤m，得－m≤x≤m.当0m≤2时，由题意得2m6＝56，解得m＝2.5，矛盾，舍去．当2m4时，由题意得m－－26＝56，解得m＝3.6．在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于点M，则AMAC的概率为________．答案16解析设事件D为“作射线CM，使AMAC”．在AB上取点C′使AC′＝AC，因为△ACC′是等腰三角形，所以∠ACC′＝180°－30°2＝75°，事件D发生的区域μD＝90°－75°＝15°，构成事件总的区域μΩ＝90°，所以P(D)＝μDμΩ＝15°90°＝16.题型一与长度、角度有关的几何概型41．(2018·连云港模拟)记函数f(x)＝2x－x2的值域为D.在区间[－1,2]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．答案13解析∵2x－x2＝1－(x－1)2≤1，∴0≤2x－x2≤1，即D为[0,1]，在[－1,2]上随机取一个数x，则x∈D的概率是1－02－－1＝13.2．某公司的班车在7：00，8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．答案12解析如图所示，画出时间轴．小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB上时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型，得所求概率P＝10＋1040＝12.3.如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝1，在∠DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________．答案13解析因为在∠DAB内任作射线AP，所以它的所有等可能事件所在的区域H是∠DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在∠CAB内，则区域H为∠CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为∠CAB∠DAB＝30°90°＝13.4．在区间[0,5]上随机地选择一个数p，则方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根的概率为________．答案23解析方程x2＋2px＋3p－2＝0有两个负根，5则有Δ≥0，x1＋x20，x1x20，即4p2－43p－2≥0，－2p0，3p－20，解得p≥2或23p≤1，又p∈[0,5]，则所求概率为P＝3＋135＝1035＝23.思维升华求解与长度、角度有关的几何概型的方法求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)，然后求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度)．题型二与面积有关的几何概型例1(1)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是________．答案π8解析不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝12S圆＝π2，所以由几何概型知，所求概率P＝S黑S正方形＝π24＝π8.(2)(2018·江苏省无锡市玉祁中学模拟)一只蚂蚁在边长分别为6,8,10的△ABC区域内随机爬行，则其恰在到顶点A或顶点B或顶点C的距离小于1的地方的概率为________．答案π48解析蚂蚁活动的范围是在三角形的内部，三角形的边长为6,8,10，是直角三角形，6∴面积为12×6×8＝24，而“恰在离三个顶点距离都小于1”正好是一个半径为1的半圆，面积为12π×12＝π2，∴根据几何概型的概率公式可知其到三角形顶点的距离小于1的地方的概率为π224＝π48.思维升华求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．跟踪训练1(1)设不等式组y≤x，y≥－x，2x－y－4≤0所表示的平面区域为M，x2＋y2≤1所表示的平面区域为N，现随机向区域M内抛一粒豆子，则豆子落在区域N内的概率为________．(2)如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝x＋1，x≥0，－12x＋1，x0的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________．答案(1)3π64(2)14解析(1)画出两不等式组表示的平面区域，则图中阴影部分为两不等式组的公共部分，易知A(4,4)，B43，－43，OA⊥OB，平面区域M7的面积S△AOB＝12×423×42＝163，阴影部分的面积S＝14×π×12＝π4.由几何概型的概率计算公式，得P＝SS△AOB＝π4163＝3π64.(2)由图形知C(1,2)，D(－2,2)，∵S四边形ABCD＝6，S阴＝12×3×1＝32，∴P＝326＝14.题型三与体积有关的几何概型例2(1)已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得VP—ABC12VS—ABC的概率是________．答案78解析当P在三棱锥的三条侧棱的中点所在的平面及下底面构成的正三棱台内时符合要求，由几何概型知，P＝1－18＝78.(2)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M，则使四棱锥M—ABCD的体积小于16的概率为________．答案12解析过点M作平面RS∥平面AC，则两平面间的距离是四棱锥M—ABCD的高，显然点M在平面RS上任意位置时，四棱锥M—ABCD的体积都相等．若此时四棱锥M—ABCD的体积等于16，只要M在截面以下即可小于16，当VM—ABCD＝16时，即13×1×1×h＝16，解得h＝12，即点M到底面ABCD的距离，所以所求概率P＝1×1×121×1×1＝12.思维升华求解与体积有关的几何概型的注意点8对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．跟踪训练2如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是________．答案1－π4解析鱼缸底面正方形的面积为22＝4，圆锥底面圆的面积为π.所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1－π4.1.如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机扔一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是________．答案3π解析设阴影部分的面积为S，且圆的面积S′＝π·32＝9π.由几何概型的概率，得SS′＝13，则S＝3π.2．(2018·南通、徐州等六市模拟)在长为12cm的线段AB上任取一点C，以线段AC，BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32cm2的概率为________．答案13解析设AC＝x，则BC＝12－x，矩形的面积为S＝AC×BC＝x(12－x)＝12x－x2.∵12x－x232，∴4x8，由几何概型的概率的求解公式可得，该矩形的面积大于32cm2的概率为P＝8－412＝13.93．已知P是△ABC所在平面内一点，PB→＋PC→＋2PA→＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是________．答案12解析以PB，PC为邻边作平行四边形PBDC，则PB→＋PC→＝PD→，因为PB→＋PC→＋2PA→＝0，所以PB→＋PC→＝－2PA→，得PD→＝－2PA→，由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC距离的12，所以S△PBC＝12S△ABC，所以将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为S△PBCS△ABC＝12.4．已知在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为________．答案12解析如图，当BE＝1时，∠AEB为直角，则当点D在线段BE(不包含B，E点)上时，△ABD为钝角三角形；当BF＝4时，∠BAF为直角，则当点D在线段CF(不包含C，F点)上时，△ABD为钝角三角形，所以△ABD为钝角三角形的概率为1＋26＝12.5．在区间[0,2]上随机地取一个数x，则事件