（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.2 平面向量基本定理及坐标表示

1§5.2平面向量基本定理及坐标表示考情考向分析主要考查向量的加法、减法、数乘向量的坐标运算及向量共线的坐标表示，考查向量线性运算的综合应用，考查学生的运算推理能力、数形结合能力，常与三角函数综合交汇考查，突出向量的工具性．一般以填空题的形式考查，偶尔有与三角函数综合在一起考查的解答题，属于中档题．1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝x2－x12＋y2－y12.3．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？提示不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．22．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？提示不一定．当两个向量共线时，这两个向量就不能表示，即两向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(×)(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等边三角形ABC中，向量AB→与BC→的夹角为60°.(×)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成x1x2＝y1y2.(×)(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(√)(6)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(√)题组二教材改编2．[P79练习T6]已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为．答案(1,5)解析设D(x，y)，则由AB→＝DC→，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即4＝5－x，1＝6－y，解得x＝1，y＝5.3．[P82T8]已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则mn＝.答案－12解析由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb与a－2b共线，得2m－n4＝3m＋2n－1，所以mn＝－12.题组三易错自纠34．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝.答案05．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量AC→＝(－4，－3)，则向量BC→＝.答案(－7，－4)解析根据题意得AB→＝(3,1)，∴BC→＝AC→－AB→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝.答案－6解析因为a∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.题型一平面向量基本定理的应用例1如图，在△OCB中，A是CB的中点，D是将OB→分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA→＝a，OB→＝b.(1)用a和b表示向量OC→，DC→；(2)若OE→＝λOA→，求实数λ的值．解(1)由题意知，A是BC的中点，且OD→＝23OB→，由平行四边形法则，得OB→＋OC→＝2OA→，所以OC→＝2OA→－OB→＝2a－b，DC→＝OC→－OD→＝(2a－b)－23b＝2a－53b.4(2)由题意知，EC→∥DC→，故设EC→＝xDC→.因为EC→＝OC→－OE→＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC→＝2a－53b.所以(2－λ)a－b＝x2a－53b.因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得2－λ＝2x，－1＝－53x，解得x＝35，λ＝45.故λ＝45.思维升华应用平面向量基本定理的注意事项(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．(3)强化共线向量定理的应用．跟踪训练1在△ABC中，点P是AB上一点，且CP→＝23CA→＋13CB→，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又CM→＝tCP→，则t的值为．答案34解析∵CP→＝23CA→＋13CB→，∴3CP→＝2CA→＋CB→，即2CP→－2CA→＝CB→－CP→，∴2AP→＝PB→，即P为AB的一个三等分点，如图所示．5方法一∵A，M，Q三点共线，∴CM→＝xCQ→＋(1－x)CA→＝x2CB→＋(x－1)AC→，而CB→＝AB→－AC→，∴CM→＝x2AB→＋x2－1AC→.又CP→＝CA→－PA→＝－AC→＋13AB→，由已知CM→＝tCP→，可得x2AB→＋x2－1AC→＝t－AC→＋13AB→，又AB→，AC→不共线，∴x2＝t3，x2－1＝－t，解得t＝34.方法二过Q作PC的平行线交AB于D，∵Q是BC中点，∴QD＝12PC，且D是PB中点，∴QD＝2PM，∴PC＝4PM，∴CM＝34CP，又CM→＝tCP→，∴t＝34.题型二平面向量的坐标运算例2(1)已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若MN→＝－3a，则点N的坐标为．答案(2,0)解析设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB→＝a，BC→＝b，CA→＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，则m＋n＝.答案－2解析由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．6∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴－6m＋n＝5，－3m＋8n＝－5，解得m＝－1，n＝－1.∴m＋n＝－2.思维升华平面向量坐标运算的技巧(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．跟踪训练2线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使|AC→|＝2|BC→|，则x＋y＝.答案－2或6解析由已知得AC→＝(1－x，－4)，2BC→＝2(3,1－y)．由|AC→|＝2|BC→|，可得AC→＝±2BC→，则当AC→＝2BC→时，有1－x＝6，－4＝2－2y，解得x＝－5，y＝3，此时x＋y＝－2；当AC→＝－2BC→时，有1－x＝－6，－4＝－2＋2y，解得x＝7，y＝－1，此时x＋y＝6.综上可知，x＋y＝－2或6.题型三向量共线的坐标表示命题点1利用向量共线求向量或点的坐标例3已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为．答案(3,3)解析方法一由O，P，B三点共线，7可设OP→＝λOB→＝(4λ，4λ)，则AP→＝OP→－OA→＝(4λ－4,4λ)．又AC→＝OC→－OA→＝(－2,6)，由AP→与AC→共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以OP→＝34OB→＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)．方法二设点P(x，y)，则OP→＝(x，y)，因为OB→＝(4,4)，且OP→与OB→共线，所以x4＝y4，即x＝y.又AP→＝(x－4，y)，AC→＝(－2,6)，且AP→与AC→共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)．命题点2利用向量共线求参数例4(2019·江苏南通启东中学模拟)已知向量a＝8，x2，b＝(x,1)，其中x0，若(a－2b)∥(2a＋b)，则x＝.答案4解析∵向量a＝8，x2，b＝(x,1)，∴a－2b＝8－2x，x2－2，2a＋b＝(16＋x，x＋1)，∵(a－2b)∥(2a＋b)，∴(8－2x)(x＋1)－(16＋x)x2－2＝0，即－52x2＋40＝0，又∵x0，∴x＝4.思维升华平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b8的充要条件是x1y2＝x2y1”．(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．跟踪训练3(1)已知向量a＝(1,1)，点A(3，0)，点B为直线y＝2x上的一个动点．若AB→∥a，则点B的坐标为．答案(－3，－6)解析设B(x,2x)，则AB→＝(x－3,2x)．∵AB→∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B(－3，－6)．(2)已知向量OA→＝(k,12)，OB→＝(4,5)，OC→＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是．答案－23解析AB→＝OB→－OA→＝(4－k，－7)，AC→＝OC→－OA→＝(－2k，－2)．∵A，B，C三点共线，∴AB→，AC→共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－23.1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP→＝12MN→，则P点的坐标为．答案－1，－32解析设P(x，y)，则MP→＝(x－3，y＋2)．而12MN→＝12(－8,1)＝－4，12，9∴x－3＝－4，y＋2＝12，解得x＝－1，y＝－32，∴P－1，－32.2．若向量AB→＝DC→＝(2,0)，AD→＝(1,1)，则AC→＋BC→＝.答案(4,2)解析AC→＝AD→＋DC→＝(3,1)，又BD→＝AD→－AB→＝(－1,1)，则BC→＝BD→＋DC→＝(1,1)，所以AC→＋BC→＝(4,2)．3．若三点A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共线，则实数a的值为．答案－54解析AB→＝(a－1,3)，AC→＝(－3,4)，根据题意知AB→∥AC→，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－54.4．(2018·全国Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝.答案12解析由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝12.5．已知向量OA→＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是．答案k≠1解析若点A，B，C能构成三角形，则向量AB→，AC→不共线．10∵AB→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC→－OA→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.6．已知向量m＝sinA，12与向量n＝(3，sinA＋3cosA)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为．答案π3解析∵m∥n，∴sinA(sinA＋3cosA)－32＝0，∴2sin2A＋23sinAcosA＝3，∴1－cos2A＋3sin2A＝3，∴sin2A－π6＝1，∵A∈(0，π)，∴2A－π6∈－π6，11π6.因此2A－π6＝π2，解得A＝π3.7．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为坐标平面内第一象限内一点，∠AO