（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十二章 系列4选讲 12.3 不等式选讲（第1课时）绝对

1第1课时绝对值不等式考情考向分析本节考查热点为绝对值不等式的解法及证明．在高考中主要以解答题的形式考查，属于低档题．1．绝对值不等式的解法(1)含有绝对值的不等式|x|a与|x|a的解集不等式a0a＝0a0|x|a(－a，a)∅∅|x|a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c0)和|ax＋b|≥c(c0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若|x|c的解集为R，则c≤0.(×)(2)不等式|x－1|＋|x＋2|2的解集为∅.(√)(3)对|a＋b|≥|a|－|b|当且仅当ab0时等号成立．(×)2(4)对|a|－|b|≤|a－b|当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(×)(5)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．(√)题组二教材改编2．[P6例3]不等式3≤|5－2x|9的解集为__________．答案(－2,1]∪[4,7)解析由题意得|2x－5|9，|2x－5|≥3，即－92x－59，2x－5≥3或2x－5≤－3，解得－2x7，x≥4或x≤1，不等式的解集为(－2,1]∪[4,7)．3．[P6例4]求不等式|x－1|－|x－5|2的解集．解①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)2，∴－42，不等式恒成立，∴x≤1；②当1x5时，原不等式可化为x－1－(5－x)2，∴x4，∴1x4；③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为(－∞，4)．4．[P6例4]若存在实数x满足不等式|x－4|＋|x－3|a，求实数a的取值范围．解由绝对值不等式的几何性质知，|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，当且仅当(x－4)(x－3)≤0时，等号成立．所以函数y＝|x－4|＋|x－3|的最小值为1.因为原不等式有实数解，所以a的取值范围是(1，＋∞)．题组三易错自纠5．若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.答案4或－6解析方法一①当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|，f(x)min＝0，不符合题意；②当a－1时，f(x)＝－3x＋2a－1，xa，x－1－2a，a≤x≤－1，3x＋1－2a，x－1，∴f(x)min＝f(a)＝－a－1＝5，∴a＝－6成立；3③当a－1时，f(x)＝－3x＋2a－1，x－1，－x＋2a＋1，－1≤x≤a，3x＋1－2a，xa，∴f(x)min＝f(a)＝a＋1＝5，∴a＝4成立．综上，a＝4或a＝－6.方法二当a＝－1时，f(x)min＝0，不符合题意；当a≠－1时，f(x)min＝f(a)＝|a＋1|＝5，∴a＝4或a＝－6.6．若存在实数x，使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是____________．答案[－2,4]解析∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.7．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋12a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_______．答案－1，12解析设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝－3x－1，x－2，－x＋3，－2≤x12，3x＋1，x≥12.当x－2时，y＝－3x－15；当－2≤x12时，5≥y＝－x＋352；当x≥12时，y＝3x＋1≥52，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为52.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋12a＋2对任意实数x恒成立，所以52≥a2＋12a＋2.解不等式52≥a2＋12a＋2，得－1≤a≤12，故实数a的取值范围为－1，12.4题型一绝对值不等式的解法1．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．解(1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.①当x－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x1时，①式化为x2＋x－4≤0，从而1x≤－1＋172.所以f(x)≥g(x)的解集为x－1≤x≤－1＋172.(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]上的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．2．已知函数f(x)＝|x－a|，其中a1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．解(1)方法一当a＝2时，由题意知|x－2|＋|x－4|≥4，利用几何意义可知不等式表示数轴上x的对应点到2与4对应点的距离之和大于等于4，又2和4之间的距离为2，即x在以2和4为标准分别向左或者向右平移1个单位长度的位置上．故不等式的解集为{x|x≤1或x≥5}．方法二当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝－2x＋6，x≤2，2，2x4，2x－6，x≥4.5当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2x4时，f(x)≥4－|x－4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，得2x－6≥4，解得x≥5.故原不等式的解集为{x|x≤1或x≥5}．(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝－2a，x≤0，4x－2a，0xa，2a，x≥a.由|h(x)|≤2，解得a－12≤x≤a＋12.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以a－12＝1，a＋12＝2，解得a＝3.思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．题型二利用绝对值不等式求最值例1(1)对任意x，y∈R，求|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值；(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值．解(1)∵x，y∈R，∴|x－1|＋|x|≥|(x－1)－x|＝1，当且仅当0≤x≤1时等号成立．∴|y－1|＋|y＋1|≥|(y－1)－(y＋1)|＝2，当且仅当－1≤y≤1时等号成式．∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥1＋2＝3，当且仅当0≤x≤1，－1≤y≤1同时成立时等号成立．∴|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为3.(2)|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.6思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.(3)利用零点分区间法．跟踪训练1(2018·镇江模拟)已知a和b是任意非零实数．(1)求|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值；(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，求实数x的取值范围．解(1)∵|2a＋b|＋|2a－b||a|≥|2a＋b＋2a－b||a|＝|4a||a|＝4，当且仅当(2a＋b)(2a－b)≥0时等号成立，∴|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为4.(2)若不等式|2a＋b|＋|2a－b|≥|a|(|2＋x|＋|2－x|)恒成立，即|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|恒成立，故|2＋x|＋|2－x|≤|2a＋b|＋|2a－b||a|min.由(1)可知，|2a＋b|＋|2a－b||a|的最小值为4，∴x的取值范围即为不等式|2＋x|＋|2－x|≤4的解集．解不等式得－2≤x≤2，故实数x的取值范围为[－2,2]．题型三绝对值不等式的综合应用例2已知函数f(x)＝|x－a|＋12a(a≠0)．(1)若不等式f(x)－f(x＋m)≤1恒成立，求实数m的最大值；(2)当a12时，函数g(x)＝f(x)＋|2x－1|有零点，求实数a的取值范围．解(1)∵f(x)＝|x－a|＋12a(a≠0)，∴f(x＋m)＝|x＋m－a|＋12a，∴f(x)－f(x＋m)＝|x－a|－|x＋m－a|≤1，又|x－a|－|x＋m－a|≤|m|，∴|m|≤1，∴－1≤m≤1，7∴实数m的最大值为1.(2)当a12时，g(x)＝f(x)＋|2x－1|＝|x－a|＋|2x－1|＋12a＝－3x＋a＋12a＋1，xa，－x－a＋12a＋1，a≤x≤12，3x－a＋12a－1，x12，∴g(x)min＝g12＝12－a＋12a＝－2a2＋a＋12a≤0，∴0a12，－2a2＋a＋1≤0或a0，－2a2＋a＋1≥0，∴－12≤a0，∴实数a的取值范围是－12，0.思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值不等式有关的综合问题的常用方法．跟踪训练2已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．解(1)f(x)＝－3，x－1，2x－1，－1≤x≤2，3，x2.当x－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x2时，由f(x)≥1，解得x2，所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|8＝－|x|－322＋54≤54，当x＝32时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝54.故m的取值范围为－∞，54.1．解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5.解方法一如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，B，则不等式的解就是数轴上到A，B两点的距离之和不小于5的点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把点A向左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．方法二由原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5，可得x≤－2，－x－1－x＋2≥5或－2x1，－x－1＋x＋2≥5或x≥1，x－1＋x＋2≥5，解得x≥2