（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明、数学归纳法 7.2 一元二次不

1§7.2一元二次不等式及其解法考情考向分析以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识．在高考中常以填空题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高．一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4acΔ0Δ＝0Δ0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象方程ax2＋bx＋c=0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|xx1或xx2}错误!{x|x∈R}ax2＋bx＋c0(a0)的解集{x|x1xx2}∅∅概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c0(a0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．22．一元二次不等式ax2＋bx＋c0(0)恒成立的条件是什么？提示显然a≠0.ax2＋bx＋c0恒成立的条件是a0，Δ0；ax2＋bx＋c0恒成立的条件是a0，Δ0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为(x1，x2)，则必有a0.(√)(2)若不等式ax2＋bx＋c0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(√)(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c0的解集为R.(×)(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ＝b2－4ac≤0.(×)(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c0的解集一定不是空集．(√)题组二教材改编2．[P67例1(2)]不等式－x2－2x＋30的解集为________________．答案{x|－3x1}解析原不等式可化为x2＋2x－30，得－3x1.3．[P71习题T6]若关于x的不等式ax2＋bx＋20的解集是－12，13，则a＋b＝________.答案－14解析∵x1＝－12，x2＝13是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴a4－b2＋2＝0，a9＋b3＋2＝0，解得a＝－12，b＝－2，∴a＋b＝－14.题组三易错自纠34．不等式－x2－3x＋40的解集为________．(用区间表示)答案(－4,1)解析由－x2－3x＋40可知，(x＋4)(x－1)0，得－4x1.5．函数y＝1－xx＋2的定义域为________．答案(－2,1]解析由1－xx＋2≥0⇒－2x≤1，得函数的定义域为(－2,1]．6．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．答案(－2,2]解析设方程(a－2)x2＋2(a－2)x－4＝0，当a≠2时，由题意得，a－20，Δ0，∴－2a2；当a＝2时，原式化为－40，不等式恒成立，∴－2a≤2.题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1已知集合A＝{x|x2－x－20}，B＝{y|y＝2x}，则A∩B＝________.答案(0,2)解析由题意得A＝{x|x2－x－20}＝{x|－1x2}，B＝{y|y＝2x}＝{y|y0}，∴A∩B＝{x|0x2}＝(0,2)．命题点2含参不等式例2解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋10(a0)．解原不等式变为(ax－1)(x－1)0，因为a0，所以x－1a(x－1)0.4所以当a1时，解为1ax1；当a＝1时，解集为∅；当0a1时，解为1x1a.综上，当0a1时，不等式的解集为x1x1a；当a＝1时，不等式的解集为∅；当a1时，不等式的解集为x1ax1.命题点3分式不等式例3已知关于x的不等式a＋1x－3x－11.(1)当a＝1时，解该不等式；(2)当a为任意实数时，解该不等式．解(1)当a＝1时，不等式化为2x－3x－11，可得x－2x－10，∴1x2，∴不等式的解集为{x|1x2}．(2)原不等式可化为ax－2x－10，可化为(ax－2)(x－1)0，当a＝0时，x1.当a0时，x－2a(x－1)0，∴x1或x2a.当a0时，x－2a(x－1)0，若2a1，即0a2时，可得1x2a，若2a＝1，即a＝2时，x∈∅，若02a1，即a2时，2ax1.综上，当a0时，5原不等式的解集为xx1或x2a，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x1}，当0a2时，原不等式的解集为x1x2a，当a＝2时，原不等式的解集为∅，当a2时，原不等式的解集为x2ax1.思维升华对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：①根据二次项系数为正、负及零进行分类．②根据判别式Δ判断根的个数．③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1解不等式12x2－axa2(a∈R)．解原不等式可化为12x2－ax－a20，即(4x＋a)(3x－a)0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－a4，x2＝a3.当a0时，不等式的解集为－∞，－a4∪a3，＋∞；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a0时，不等式的解集为－∞，a3∪－a4，＋∞.题型二三个“二次”的关系例4(1)已知函数f(x)＝2x2＋bx＋c(b，c∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)m的解集为(n，n＋10)，求实数m的值．解由已知可得Δ＝b2－8c＝0，∴c＝b28，由不等式2x2＋bx＋b28－m0的解集为(n，n＋10)，可得方程2x2＋bx＋b28－m＝0的两根为n，n＋10，∴10＝b24－b24＋2m＝2m，∴m＝50.(2)已知方程x2＋ax＋2＝0的两根都小于－1，求实数a的取值范围．解设f(x)＝x2＋ax＋2，6由题意可得f－1＝1－a＋20，Δ＝a2－80，－a2－1，解得22a3，∴实数a的取值范围是(22，3)．思维升华一元二次不等式ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2即为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c0(或ax2＋bx＋c0)的解集的两个端点．跟踪训练2若α，β是方程x2＋(2m－1)x＋4－2m＝0的两个根，且α2β，求实数m的取值范围．解设f(x)＝x2＋(2m－1)x＋4－2m，∵α，β是方程f(x)＝0的根，且α2β，∴f(2)0，∴4＋2(2m－1)＋4－2m0，∴m－3，故实数m的取值范围是(－∞，－3)．题型三一元二次不等式恒成立问题命题点1在R上的恒成立问题例5已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围．解当m＝0时，f(x)＝－10恒成立．当m≠0时，则m0，Δ＝m2＋4m0，即－4m0.综上，－4m≤0，故m的取值范围是(－4,0]．命题点2在给定区间上的恒成立问题例6已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)5－m恒成立，求实数m的取值范围．解要使f(x)－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即mx－122＋34m－60在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一令g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1,3]．当m0时，g(x)在[1,3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)，即7m－60，7所以m67，所以0m67；当m＝0时，－60恒成立；当m0时，g(x)在[1,3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)，即m－60，所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是mm67.方法二因为x2－x＋1＝x－122＋340，又因为m(x2－x＋1)－60，所以m6x2－x＋1.因为函数y＝6x2－x＋1＝6x－122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m67即可．所以m的取值范围是mm67.引申探究1．若将“f(x)5－m恒成立”改为“f(x)5－m无解”，如何求m的取值范围？解若f(x)5－m无解，即f(x)≥5－m恒成立，即m≥6x2－x＋1恒成立，又x∈[1,3]，得m≥6，即m的取值范围为[6，＋∞)．2．若将“f(x)5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)5－m成立”，如何求m的取值范围．解由题意知f(x)5－m有解，即m6x2－x＋1有解，则m6x2－x＋1max，又x∈[1,3]，得m6，即m的取值范围为(－∞，6)．命题点3给定参数范围的恒成立问题例7若mx2－mx－10对于m∈[1,2]恒成立，求实数x的取值范围．解设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则g10，g20，即x2－x－10，2x2－2x－10，8解得1－32x1＋32，故x的取值范围为1－32，1＋32.思维升华解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．跟踪训练3函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；(3)当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围．解(1)∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，需Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，即－6≤a≤2，∴实数a的取值范围是[－6,2]．(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g(x)的图象与x轴不超过1个交点时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.②如图②，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即Δ0，x＝－a2－2，g－2≥0，即a2－43－a0，－a2－2，4－2a＋3－a≥0，可得a2或a－6，a4，a≤73，解得a∈∅.③如图③，g(x)的图象与x轴有2个交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即Δ0，x＝－a22，g2≥0，即a2－43－a0，－a22，7＋a≥0，9可得a2或a－6，a－4，a≥－7.∴－7≤a－6，综上，实数a的取值范围是[－7,2]．(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需h4≥0，h6≥0，即x2＋4x＋3≥0，x2＋6x＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋6.∴实数x的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|(x＋1)(x－5)0}，则A∩B＝________.答案[0,5)解析由题意得B＝{x|－1x5}，故A∩B＝{x|x≥0}∩{x|－1x5}＝[0,5)．2．若不等式ax2＋bx＋20的解集为{x|－1x2}，则不等式2x2＋bx＋a0的解集为________．答案