（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法教案（含解析）

1第六章数列考试内容等级要求数列的概念A等差数列C等比数列C§6.1数列的概念与简单表示法考情考向分析以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以填空的形式进行考查，难度为低档．1．数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1____an其中n∈N*递减数列an＋1____an常数列an＋1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析式法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，n∈N*.概念方法微思考21．数列的项与项数是一个概念吗？提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．2．数列的通项公式an＝3n＋5与函数y＝3x＋5有何区别与联系？提示数列的通项公式an＝3n＋5是特殊的函数，其定义域为N*，而函数y＝3x＋5的定义域是R，an＝3n＋5的图象是离散的点，且排列在y＝3x＋5的图象上．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(×)(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×)(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√)(4)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(×)(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＝Sn－Sn－1.(×)题组二教材改编2．[P34习题T2]在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝4an＋1，则a3＝________.答案21解析由题意知，a2＝4a1＋1＝5，a3＝4a2＋1＝21.3．[P34习题T7]根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝____________.答案5n－4题组三易错自纠4．数列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N*)，则此数列最大项的值是________．答案30解析an＝－n2＋11n＝－n－1122＋1214，∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.5．已知an＝n2＋λn，且对于任意的n∈N*，数列{an}是递增数列，则实数λ的取值范围是______．答案(－3，＋∞)3解析因为{an}是递增数列，所以对任意的n∈N*，都有an＋1an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ0，即λ－(2n＋1)．(*)因为n≥1，n∈N*，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ－3.6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.答案2，n＝1，2n－1，n≥2，n∈N*解析当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，又a1＝2不满足an＝2n－1，故an＝2，n＝1，2n－1，n≥2，n∈N*.题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)23，415，635，863，1099，…；(2)－1,7，－13,19，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)5,55,555,5555，….解(1)这是一个分数数列，其分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，而分子依次为2,4,6，…，相邻的偶数．故所求数列的一个通项公式为an＝2n2n－12n＋1，n∈N*.(2)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)，n∈N*.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，492，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为an＝n22，n∈N*.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝59(10n－1)，n∈N*.思维升华求数列通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征．(2)相邻项的变化特征．(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征．(4)各项符号特征等．(5)若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式．跟踪训练1(1)(2018·江苏省海安中学月考)数列12，－12，512，－720的一个通项公式为an＝_________.答案(－1)n－1·2n－1nn＋1解析由已知12，－12，512，－720可以得到12，－36，512，－720，则有11×2，－32×3，53×4，－74×5，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n－1·2n－1nn＋1.(2)数列{an}的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是an＝________.答案2n＋1n2＋1解析数列{an}的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故an＝2n＋1n2＋1.题型二由an与Sn的关系求通项公式例2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝________.答案4n－5解析当n＝1时，a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.(2)(2018·全国Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.答案－63解析∵Sn＝2an＋1，当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋1，∴an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，5即an＝2an－1(n≥2)．当n＝1时，a1＝S1＝2a1＋1，得a1＝－1.∴数列{an}是首项a1＝－1，公比q＝2的等比数列，∴Sn＝a11－qn1－q＝－1×1－2n1－2＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.(3)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________.答案2，n＝1，2n－1n，n≥2解析当n＝1时，由已知，可得a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①∴a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝2n－1n.显然当n＝1时不满足上式，∴an＝2，n＝1，2n－1n，n≥2.思维升华已知Sn求an的常用方法是利用an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2，一定要检验a1的情况．跟踪训练2(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则an＝________.答案4，n＝1，2×3n－1，n≥2解析当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2×3n－1.当n＝1时，2×31－1＝2≠a1，所以an＝4，n＝1，2×3n－1，n≥2.(2)设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，则an＝________.答案13n6解析因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝n3，①则当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝n－13，②①－②得3n－1an＝13，所以an＝13n(n≥2)．由题意知a1＝13符合上式，所以an＝13n.(3)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是an＝________.答案(－2)n－1解析当n＝1时，a1＝S1＝23a1＋13，即a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝23an－23an－1，故anan－1＝－2，所以数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列．故an＝(－2)n－1.题型三数列的性质命题点1数列的周期性例3在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝3＋an1－3an，则S2020＝________.答案0解析∵a1＝0，an＋1＝3＋an1－3an，∴a2＝31＝3，a3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3，a4＝3－31＋3×3＝0，即数列{an}的取值具有周期性，周期为3，且a1＋a2＋a3＝0，则S2020＝S3×673＋1＝a1＝0.7命题点2数列的单调性和最值例4(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)，则nSn的最小值为________．答案－9解析由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3(m≥2)可知，am＝2，am＋1＝3，设等差数列{an}的公差为d，则d＝1，∵Sm＝0，∴a1＝－am＝－2，则an＝n－3，Sn＝nn－52，nSn＝n2n－52.设f(x)＝x2x－52，x0，f′(x)＝32x2－5x，x0，∴f(x)的极小值点为x＝103，∵n∈N*，且f(3)＝－9，f(4)＝－8，∴f(n)min＝－9.(2)(2018·江苏省新海中学质检)已知数列{an}的通项公式为an＝－818n＋914n－312n(其中n∈N*)，若第m项是数列{an}中的最小项，则am＝________.答案－516解析令12n＝t，由an＝－818n＋914n－312n，得an＝－8t3＋9t2－3t.设f(t)＝－8t3＋9t2－3t，则f′(t)＝－24t2＋18t－3＝－3(2t－1)(4t－1)．∵0t＝12n≤12，且当0t14时，f′(t)0，当14t12时，f′(t)0，∴f(t)在0，14上单调递减，在14，12上单调递增．∴当t＝14，即n＝2时，an最小，8∴am＝a2＝－8×182＋9×142－3×122＝－516，即am＝－516.思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断．跟踪训练3(1)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1＋an1－an，则a2020的值为________．答案13解析因为a1＝2，an＋1＝1＋an1－an，所以a2＝1＋a11－a1＝－3，a3＝1＋a21－a2＝－12，a4＝1＋a31－a3＝13，a5＝1＋a41－a4＝2，故数列{an}是以4为周期的周期数列，故a2020＝a505×4＝a4＝13.(2)若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{nan}中数值最小的项是第________项．答案3解析∵Sn＝n2－10n，∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．∴an＝2n－11(n∈N*)．记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函数图象的对称轴为直线n＝114，但n∈N*，∴当n＝3时，f(n)取最小值．∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．1．已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第______项．答案21解析数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，95＋4×6，…，所以通项公式为an＝5＋6