2020版高中数学 第三章 概率 3.1.3 概率的基本性质学案（含解析）新人教A版必修3

13.1.3概率的基本性质学习目标1.了解互斥事件概率的加法公式.2.理解事件的关系与运算.3.会用对立事件的特征求概率．知识点一事件的关系与运算1．事件的关系定义表示法图示包含关系一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等关系A⊆B且B⊆AA＝B2.关于事件的运算定义表示法图示并事件若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)知识点二互斥与对立互斥事件和对立事件的定义互斥事件定义若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥符号A∩B＝∅图示注意事项例如，在掷骰子试验中，记C1＝{出现1点}，C2＝{出现2点}，则C1与C2互斥2对立事件定义若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件符号A∩B＝∅，且A∪B＝Ω图示注意事项A的对立事件一般记作A知识点三概率的基本性质概率的几个基本性质1．概率的取值范围为[0,1]．2．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.3．概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．特别地，若A与B为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．P(A∪B)＝1，P(A∩B)＝0.1．若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．(×)2．若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．(√)3．若两个事件是对立事件，则这两个事件概率之和为1.(√)题型一事件关系的判断例1从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．解(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不3可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．反思感悟(1)要判断两个事件是不是互斥事件，只需要分别找出各个事件包含的所有结果，看它们之间能不能同时发生．在互斥的前提下，看两个事件的并事件是否为必然事件，从而可判断是否为对立事件．(2)考虑事件的结果间是否有交事件．可考虑利用Venn图分析，对于较难判断的关系，也可考虑列出全部结果，再进行分析．跟踪训练1(1)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不对立的是()A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有两个红球(2)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．至多有一次中靶B．只有一次中靶C．两次都中靶D．两次都不中靶答案(1)D(2)D解析(1)根据互斥事件与对立事件的定义判断．A中两事件不是互斥事件，事件“三个球都是红球”是两事件的交事件；B中两事件是对立事件；C中两事件能同时发生，如“恰有一个红球和两个白球”，故不是互斥事件；D中两事件是互斥而不对立事件．(2)A，B，C中的事件均能与事件“至少有一次中靶”同时发生，故A，B，C错误，选D.题型二事件的运算例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．解(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含4事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.反思感悟事件间运算方法(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．跟踪训练2盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则：(1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与事件A的交事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故C∩A＝A.题型三用互斥、对立事件求概率例3某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．解设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.所以射中10环或9环的概率为0.3.(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.反思感悟互斥事件、对立事件概率的求解方法(1)互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．5跟踪训练3甲、乙两人下棋，和棋的概率是12，乙获胜的概率为13，求：(1)甲获胜的概率；(2)甲不输的概率．解(1)“甲获胜”可看成是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率为1－12－13＝16.(2)方法一“甲不输”可看成是“甲获胜”“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(甲不输)＝16＋12＝23.方法二“甲不输”可看成是“乙获胜”的对立事件，所以P(甲不输)＝1－13＝23，故甲不输的概率为23.用方程的思想求概率典例袋中有外形、质量完全相同的红球、黑球、黄球、绿球共12个，从中任取一球，得到红球的概率是13，得到黑球或黄球的概率是512，得到黄球或绿球的概率也是512.(1)试分别求得到黑球、黄球、绿球的概率；(2)从中任取一球，求得到的不是红球或绿球的概率．解(1)从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则P(A)＝13，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝512，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝512，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－13＝23.联立PB＋PC＝512，PC＋PD＝512，PB＋PC＋PD＝23，解得P(B)＝14，P(C)＝16，P(D)＝14，故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为14，16，14.6(2)事件“得到红球或绿球”可表示为事件A∪D，由(1)及互斥事件的概率加法公式得P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝13＋14＝712，故得到的不是红球或绿球的概率P＝1－P(A∪D)＝1－712＝512.[素养评析](1)求概率可以考虑用对立事件、互斥事件的概率加法公式求解．如果有多个待求量，可以列方程组求解．(2)理解运算对策，选择运算方法，求得运算结果，这都是数学核心素养数学运算的具体体现．1．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是()A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”D．“至少有一个黑球”与“都是红球”答案C解析A中两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.2．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是()A．0.42B．0.28C．0.3D．0.7答案C解析∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C.3．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是()A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件答案D解析由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立7事件，故只有D中的说法正确．4．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．答案1928解析由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928.5．由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人及以上概率0.10.150.30.310.10.04则至多2个人排队的概率为________．答案0.55解析P＝0.1＋0.15＋0.3＝0.55.1．互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的，它们两者之间既有区别又有联系．在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件都不发生．所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥．2．互斥事件概率的加法公式是一个很基本的计算公式，解题时要在具体的情景中判断各事件间是否互斥，只有互斥事件才能用概率的加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率.一、选择题1．袋内装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的