2019-2020学年高中数学 第1章 集合 1.2 子集、全集、补集（第1课时）子集、真子集讲义

-1-第1课时子集、真子集学习目标核心素养1.理解集合间包含与相等的含义、能识别给定集合间是否有包含关系．(重点)2.能通过分析元素的特点判断集合间的关系．(难点)3.能根据集合间的关系确定一些参数的取值．(难点、易错点)通过学习本课时内容进一步提升学生的逻辑推理、数学抽象的核心素养.1．子集的概念及其性质(1)子集定义如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集符号表示A⊆B(或B⊇A)读法集合A包含于集合B(或集合B包含集合A)图示(2)子集的性质①A⊆A，即任何一个集合是它本身的子集．②∅⊆A，即空集是任何集合的子集．③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即子集具备传递性．(3)集合相等若A⊆B且B⊆A，则A＝B.2．真子集的概念及性质(1)真子集的概念如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”．(2)性质①∅是任一非空集合的真子集．②若AB，BC，则AC.-2-1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){2,3}⊆{x|x2－5x＋6＝0}．()(2)∅⊆{0}．()(3)∅⊆{∅}．()[答案](1)√(2)√(3)√[提示](1)x2－5x＋6＝0的根为x＝2,3，故(1)正确．因∅是任何集合的子集，故(2)(3)正确．2．{1，a}⊆{1,2,3}，则a＝________.2或3[因为{1，a}⊆{1,2,3}，所以a必定是集合{1,2,3}中的一个元素，故a＝2或3.]3．集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{－1,0,1}，则A与B的关系是________．AB[∵x2－1＝0，∴x＝±1，∴A＝{1，－1}．显然AB.]集合关系的判断【例1】指出下列各对集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x∈N|x2＝1}；(2)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(3)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}；(4)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是三角形}；(5)A＝{x|－1x4}，B＝{x|x－50}．思路点拨：分析集合中元素及元素的特征，用子集、真子集及集合相等的概念进行判断．[解](1)用列举法表示集合B＝{1}，故BA.(2)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是实数对，故A与B之间无包含关系．(3)∵Q中n∈Z，∴n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，∴P＝Q.(4)等边三角形是三边相等的三角形，故AB.(5)集合B＝{x|x5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可发现AB.-3-判断两个集合A，B的关系，应由集合中元素入手，依据集合间关系的定义得出结论.由AB可推出A⊆B，但由A⊆B推不出AB.1．下列各组的集合中，两个集合之间具有包含关系的是________，其中A为S真子集的是________．(填序号)(1)S＝{－2，－1,1,2}，A＝{－1,1}；(2)S＝R，A＝{x|x≤0，x∈R}；(3)S＝{x|x为江苏人}，A＝{x|x为中国人}．(1)(2)(3)(1)(2)[(1)中A⊆S，且AS；(2)中A⊆S且AS；(3)中S⊆A且SA.]有关子集个数的计数问题【例2】(1)写出集合M＝{1,2,3}的子集，并说明其中真子集的个数为多少．(2)若集合{1,2}⊆M{1,2,3,4}，试写出满足条件的所有的集合M.思路点拨：对于确定子集(或个数)的题目，可以将子集逐一列举出来再计数．[解](1)按子集中包含元素的个数来写：含元素个数子集子集个数0∅11{1}{2}{3}32{1,2}{1,3}{2,3}33{1,2,3}1其中真子集有7个．(2)M中必有1,2两个元素，但3,4可以没有，也可以只有一个，但不能两个都在M中．M的可能情况为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．1．求解有限集合的子集问题，关键有三点(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．-4-2．集合M满足{4,5}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，则这样的M共有________个．8个[易知M中必含有4,5两个元素，但1,2,3可有可无，故M的个数与{1,2,3}的子集的个数相同，共8个．]集合之间的包含关系[探究问题]1．A⊆B的意义是什么？若M＝{x|x≤2}，N＝{x|x≤1}，则N⊆M成立吗？[提示]A⊆B表示集合A中所有的元素都在集合B中．借助数轴表示出M，N两集合，易见N⊆M.2．若集合M＝{x|x≤1}，N＝{x|x1}，则M⊆N成立吗？[提示]不成立，因为1∈M但1N，故M⊆N错误．3．集合M＝{x|2axa＋1}可能是空集吗？此时a应满足什么条件？[提示]M可以是空集，此时只需要2a≥a＋1，即a≥1.【例3】已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1xm＋1}，且B⊆A，求实数m的取值范围．思路点拨：讨论集合B→列关于m的不等式组→求m的取值范围[解]∵B⊆A，(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.(2)当B≠∅时，有－3≤2m－1，m＋1≤4，2m－1m＋1，解得－1≤m2，综上得m≥－1.(变条件)若将本例中的“B⊆A”改为“A⊆B”，求实数m的范围．[解]∵A⊆B，∴－32m－1，4m＋1，2m－1m＋1∴不存在这样的m，使得A⊆B.-5-1．对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．2．两个易错点(1)当B⊆A时，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论；(2)列不等关系式时，应注意等号是否成立．1．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，A、B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xA.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集.1．已知集合A＝{0,1,2}，B＝{1，m}．若B⊆A，则实数m的值为()A．0B．2C．0或2D．1C[因为B⊆A，那么m∈{0,2}，所以m的值是0或2.]2．集合A＝{－1,0,1}的子集中，含有元素0的子集个数为()A．3B．4C．5D．6B[根据子集定义，集合A的子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，{－1,0,1}，显然含有元素0的子集共有4个.]3．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝x，yyx＝1，则A，B的关系是________．BA[∵B＝x，yyx＝1＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故BA.]4．已知集合A＝{1,3，－x3}，B＝{x＋2,1}，是否存在实数x，使得B是A的子集？若存在，求出集合A，B；若不存在，请说明理由．-6-[解]因为B是A的子集，所以B中元素必是A中的元素，若x＋2＝3，则x＝1，符合题意．若x＋2＝－x3，则x3＋x＋2＝0，所以(x＋1)(x2－x＋2)＝0.因为x2－x＋2≠0，所以x＋1＝0，所以x＝－1，此时x＋2＝1，集合B中的元素不满足互异性．综上所述，存在实数x＝1，使得B是A的子集，此时A＝{1,3，－1}，B＝{1,3}．