2019-2020学年新教材高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示

-1-6．3.5平面向量数量积的坐标表示考点学习目标核心素养平面向量数量积的坐标表示掌握平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积数学运算平面向量的模与夹角的坐标表示能根据向量的坐标计算向量的模、夹角及判定两个向量垂直数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P34－P35的内容，思考以下问题：1．平面向量数量积的坐标表示是什么？2．如何用坐标表示向量的模、夹角和垂直？1．平面向量数量积的坐标表示已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．■名师点拨公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．2．两个公式、一个充要条件(1)向量的模长公式：若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2．(2)向量的夹角公式：设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22．(3)两个向量垂直的充要条件设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．■名师点拨若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，|AB→|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2，即A，B两点间的距离为（x2－x1）2＋（y2－y1）2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)-2-(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)|AB→|的计算公式与A，B两点间的距离公式是一致的．()答案：(1)×(2)√已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b的值是()A．23B．7C．－23D．－7答案：D已知向量a＝(1，－2)，b＝(x，2)，若a⊥b，则x＝()A．1B．2C．4D．－4答案：C已知a＝(3，1)，b＝(－3，1)，则向量a，b的夹角θ＝______.答案：120°数量积的坐标运算已知向量a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1D．2【解析】因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1.【答案】C数量积坐标运算的两个途径一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．1．设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3，4)，向量c＝(3，2)，则向量(a＋2b)·c＝()A．(－15，12)B．0C．－3D．－11解析：选C.依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3，4)＝(－5，6)，所以(a＋2b)·c＝(－5，6)·(3，2)＝－5×3＋6×2＝－3.2．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，AF→＝2FD→，则BE→·CF→＝-3-________．解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(0，2)，E(2，1)，D(2，2)，B(0，0)，C(2，0)，因为AF→＝2FD→，所以F(43，2)．所以BE→＝(2，1)，CF→＝(43，2)－(2，0)＝(－23，2)，所以BE→·CF→＝(2，1)·(－23，2)＝2×(－23)＋1×2＝23.答案：23平面向量的模(1)设平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，y)，若a∥b则|3a＋b|等于()A.5B.6C.17D.26(2)已知|a|＝213，b＝(2，－3)，若a⊥b，求a＋b的坐标及|a＋b|.【解】(1)选A.因为a∥b，所以1×y－2×(－2)＝0，解得y＝－4，从而3a＋b＝(1，2)，|3a＋b|＝5.(2)设a＝(x，y)，则由|a|＝213，得x2＋y2＝52.①由a⊥b，解得2x－3y＝0.②联立①②，解得x＝6，y＝4或x＝－6，y＝－4.所以a＝(6，4)或a＝(－6，－4)．所以a＋b＝(8，1)或a＋b＝(－4，－7)，所以|a＋b|＝65.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算利用|a|2＝a2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题．(2)坐标表示下的运算若a＝(x，y)，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有|a|＝x2＋y2.-4-已知点A(0，1)，B(1，－2)，向量AC→＝(4，－1)，则|BC→|＝________．解析：设C(x，y)，因为点A(0，1)，向量AC→＝(4，－1)，所以AC→＝(x，y－1)＝(4，－1)，所以x＝4，y－1＝－1，解得x＝4，y＝0，所以C(4，0)，所以BC→＝(3，2)，|BC→|＝9＋4＝13.答案：13平面向量的夹角(垂直)已知a＝(4，3)，b＝(－1，2)．(1)求a与b夹角的余弦值；(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．【解】(1)因为a·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|a|＝42＋32＝5，|b|＝（－1）2＋22＝5，设a与b的夹角为θ，所以cosθ＝a·b|a||b|＝255＝2525.(2)因为a－λb＝(4＋λ，3－2λ)，2a＋b＝(7，8)，又(a－λb)⊥(2a＋b)，所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，所以λ＝529.利用数量积求两向量夹角的步骤1．已知向量a＝(1，3)，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为π6，则实数m＝()A．23B.3C．0D．－3-5-解析：选B.因为a＝(1，3)，b＝(3，m)．所以|a|＝2，|b|＝9＋m2，a·b＝3＋3m，又a，b的夹角为π6，所以a·b|a|·|b|＝cosπ6，即3＋3m29＋m2＝32，所以3＋m＝9＋m2，解得m＝3.2．已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形解析：选A.由题设知AB→＝(8，－4)，AC→＝(2，4)，BC→＝(－6，8)，所以AB→·AC→＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB→⊥AC→.所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．1．已知向量a＝(2，0)，a－b＝(3，1)，则下列结论正确的是()A．a·b＝2B．a∥bC．b⊥(a＋b)D．|a|＝|b|解析：选C.因为向量a＝(2，0)，a－b＝(3，1)，设b＝(x，y)，则2－x＝3，0－y＝1，解得x＝－1，y＝－1，所以b＝(－1，－1)，a＋b＝(1，－1)，b·(a＋b)＝－1×1＋(－1)×(－1)＝0，所以b⊥(a＋b)．2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB→＝(1，－2)，AD→＝(2，1)，则AD→·AC→＝________．解析：由四边形ABCD为平行四边形，知AC→＝AB→＋AD→＝(3，－1)，故AD→·AC→＝(2，1)·(3，－1)＝5.答案：53．已知a＝(1，3)，b＝(2，m)．(1)当3a－2b与a垂直时，求m的值；(2)当a与b的夹角为120°时，求m的值．解：(1)由题意得3a－2b＝(－1，33－2m)，由3a－2b与a垂直，得－1＋9－23m＝0，所以m＝433.(2)由题意得|a|＝2，|b|＝m2＋4，a·b＝2＋3m，所以cos120°＝a·b|a|·|b|＝2＋3m2m2＋4＝－12，-6-整理得2＋3m＋m2＋4＝0，化简得m2＋23m＝0，解得m＝－23或m＝0(舍去)．所以m＝－23.[A基础达标]1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．12解析：选D.2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12.2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A．0B．1C．－2D．2解析：选D.2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，所以n2＝3，所以|a|＝2.3．已知平面向量a＝(2，4)，b＝(－1，2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|等于()A．42B．25C．8D．82解析：选D.易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2，4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝82＋（－8）2＝82.4．(2019·河北衡水中学检测)设向量a＝(3，1)，b＝(x，－3)，c＝(1，－3)，若b∥c，则a－b与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选D.因为b∥c，所以－3x＝(－3)×1，所以x＝3，所以b＝(3，－3)，a－b＝(0，4)．所以a－b与b的夹角的余弦值为b·（a－b）|a－b||b|＝－124×23＝－32，所以a－b与b的夹角为150°.5．已知O为坐标原点，向量OA→＝(2，2)，OB→＝(4，1)，在x轴上有一点P使得AP→·BP→有最小值，则点P的坐标是()A．(－3，0)B．(2，0)C．(3，0)D．(4，0)-7-解析：选C.设点P的坐标为(x，0)，则AP→＝(x－2，－2)，BP→＝(x－4，－1)．AP→·BP→＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时，AP→·BP→有最小值1.此时点P的坐标为(3，0)．6．设a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥(a－b)，则m＝________．解析：a＋b＝(m＋1，－3)＋(1，m－1)＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m＋1，－3)－(1，m－1)＝(m，－2－m)，因为(a＋b)⊥(a－b)，所以(a＋b)·(a－b)＝0，即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0，所以m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，解得m＝－2.答案：－27．(2019·陕西咸阳检测)已知向量a＝(－2，1)，b＝(λ，12)，且|λa＋b|＝132，则λ＝________．解析：由已知易得λa＋b＝－λ，λ＋12，则(－λ)2＋λ＋122＝134，解得λ＝1或λ＝－32.答案：1或－328．已知向量a＝(cosθ，sinθ)，向量b＝(3，0)，则|2a－b|的最大值为______．解析：2a－b＝(2cosθ－3，2sinθ)，|2a－b|＝（2cosθ－3）2＋（2sinθ）2＝4cos2θ－43cosθ＋3＋4sin2θ＝7－43cosθ，当且仅当cosθ＝－1时，|2a－b|取最大值2＋3.答案：2＋39．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)．(1)求a－b及|a－b|；(2)若ka＋b与a－b垂直，求实数k的值．解：(1)a－b＝(4，0)，|a－b|＝42＋02＝4.(2)ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－b＝(4，0)，因为ka＋b与a－b垂直，-8-所以(ka＋b)·(a－b)＝4(k－3)＋(2k＋2)·0＝0，解得k＝3.10．(2019·重庆第一中学第一次月考)已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，－1)．(1)若|c|＝32，且c∥a，求向量c的坐标；(2)若b是单位向量，且a⊥(a－2b)，求a与b的夹角θ.解：(1)设c＝(x，y)，由|c|＝32，c∥a可得y＋x＝0，x2＋y2＝18，所以x＝－3，y＝3，或x＝3，y＝－3，故c＝(－3，3)或c＝(3，－3)．(2)因为|a|＝2，且a⊥(a－2b)，所以a·(a－2b)＝0，即a2－2a·b＝0，所以a·b＝1，故cosθ＝a·b|a|·|b|＝22，所以θ＝π4.[B能力提升]11．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝5，若(a＋b)·c＝52，则a与c的夹角大小为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选C.设a与c的夹角为θ，依题意，得a＋b＝(－1，－2)，|a|＝5.设c＝(x，y)